Квантовый логический элемент
-
Квантовые логические элементы
- Квантовые логические элементы (квантовые вентили) являются базовыми схемами для квантовых вычислений.
- Они обратимы, что позволяет выполнять классические вычисления.
- Вентили описываются унитарными матрицами и базисными векторами.
-
История и представление
- Обозначение квантовых вентилей разработано основателями квантовой информатики.
- Вентили представлены унитарными матрицами, воздействующими на кубиты.
- Квантовые состояния описываются единичными векторами в комплексных измерениях.
-
Известные примеры
- Идентификационный вентиль (I) не изменяет квантовое состояние.
- Ворота Паули (X, Y, Z) воздействуют на один кубит и вращают сферу Блоха.
- Управляемые вентили (CNOT, CX, CY, CZ) воздействуют на несколько кубитов и выполняют операции в зависимости от состояния управляющих кубитов.
-
Классическое управление
- Квантовый компьютер управляется классическим компьютером.
- Классическое управление включает или пропускает элементы в последовательности команд.
-
Элементы фазового сдвига
- Фазовые сдвиги изменяют фазу квантового состояния, но не меняют вероятность измерения.
- Примеры: Т-образные ворота, фазовый вентиль, ворота Паули-Зет.
- Фазовые вентили не являются эрмитовыми, за исключением некоторых значений φ.
-
Основные элементы квантовых вычислений
- Ворота Адамара: воздействуют на один кубит, создают состояние суперпозиции.
- Шлюз подкачки: меняет местами два кубита.
- Ворота Тоффоли: 3-битный логический элемент, универсальный для классических вычислений.
-
Универсальные квантовые вентили
- Набор универсальных вентилей: любой набор вентилей, к которому можно свести любую квантовую операцию.
- Примеры универсальных наборов: операторы вращения, CNOT, Тоффоли + Адамар.
-
Композиция схемы
- Последовательная проводка: два вентиля могут быть описаны как один вентиль с матричным умножением.
- Показатели квантовых вентилей: вещественные показатели эквивалентны последовательностям вентилей.
-
Параллельные ворота
- Тензорное произведение двух вентилей: вентиль, равный двум параллельным вентилям.
- Преобразование Адамара: параллельный элемент Адамара на двух кубитах создает состояние суперпозиции.
-
Амплитуда и вероятность
- Амплитуда для каждого измеряемого состояния равна 1/2.
- Вероятность наблюдения любого состояния равна квадрату абсолютного значения амплитуды.
-
Преобразование Адамара
- Преобразование Адамара переводит квантовый регистр в суперпозицию.
- При измерении регистр принимает случайное число между 0 и 2^n-1.
-
Запутанные состояния
- Запутанные состояния не могут быть разложены на тензорные множители.
- Для применения вентилей к запутанным состояниям необходимо расширить вентиль.
-
Вычислительная сложность
- Умножение матриц на классических компьютерах требует времени O(n^2 log n).
- Моделирование больших запутанных квантовых систем на классических компьютерах сложно.
-
Однократная инверсия элементов
- Все квантовые логические элементы обратимы.
- Можно построить инверсию для всех алгоритмов и функций, содержащих только вентили.
-
Измерение
- Измерение необратимо и присваивает квантовому состоянию одно значение.
- Вероятность измерения значения с амплитудой вероятности ϕ равна 1 ≥ |ϕ|^2 ≥ 0.
-
Квантовые состояния
- Квантовое состояние |Ψ⟩ может быть записано как вектор в C^2^n.
- Регистр из n кубитов может быть измерен до 2^n различных состояний.
- Сумма всех вероятностей для всех исходов всегда должна быть равна 1.
-
Геометрическая интерпретация квантовых состояний
- Квантовое состояние |Ψ⟩ с n кубитами представляет собой поверхность единичной сферы в C2n.
- Унитарные преобразования (квантовые логические элементы) вращают эту сферу.
- Измерение представляет собой вероятностную проекцию точек на поверхности сферы на базисные векторы.
-
Влияние измерений на запутанные состояния
- Измерение одного кубита влияет на состояние другого, если они запутаны.
- Пример: состояние Колокола |00⟩ + |11⟩/√2.
- Измерение разрушает все квантовое состояние, охватывающее два кубита.
-
Измерение на регистрах с попарно запутанными кубитами
- Регистр A с n кубитами, инициализированными в |0⟩, проходит через параллельные ворота Адамара.
- Регистр B с n кубитами, инициализированными в |0⟩, попарно соединен с кубитами A.
- Измерение в A дает то же значение, что и в B.
- Применение квантового логического элемента F к A дает |B⟩ = F|A⟩ ⟺ F†|A⟩ = |B⟩.
-
Синтез логической функции
- Функции и процедуры описываются как матрицы.
- Матрица для функции на q кубитах имеет размер 2q×2q.
- Унитарные преобразования могут быть синтезированы из примитивных элементов.
- Теорема Соловея–Китаева показывает, что при наличии достаточного набора примитивных вентилей существует эффективное приближение для любых вентилей.
-
Обратимость квантовых функций
- Все функции должны быть обратимыми и биективными.
- Необратимые функции можно сделать обратимыми, добавив вспомогательные кубиты.
- Логически необратимые операции, такие как сложение по модулю 2n, можно сделать обратимыми, добавив информацию к выходным данным.
-
Унитарные преобразования и булева алгебра
- Унитарные преобразования используются для кодирования булевых алгебраических выражений в квантовых логических элементах.
- Примеры элементов: Паули-X, CNOT, Тоффоли.
- Эти элементы функционально завершены в области булевой логики.
-
Реализация унитарных преобразований
- В QCL и других языках квантового программирования доступны библиотеки с унитарными преобразованиями.
- Пример: inc(x) = |x+1(mod 2^x_длина)⟩.
- !inc(x) = |x-1(mod 2^x_длина)⟩.
-
Модель вычислений
- Классический компьютер генерирует логические элементы для квантового компьютера.
- Квантовый компьютер выполняет инструкции классического компьютера.
- Измерение квантовых регистров приводит к двоичным значениям.
-
Квантовые алгоритмы и сети
- Квантовые алгоритмы часто содержат как классическую, так и квантовую части.
- Неизмеренный ввод-вывод используется для создания сетей квантовых компьютеров.
- Примеры распределенных алгоритмов: сверхплотное кодирование, квантовое византийское соглашение, протокол BB84.