Обратная решетка
-
Обратная решетка и её роль
- Обратная решетка связана с твердыми телами с трансляционной симметрией.
- Она играет важную роль в рентгеновской дифракции, дифракции электронов и энергии электронов в твердом теле.
- Обратная решетка возникает из преобразования Фурье решетки.
-
Прямая и обратная решетки
- Прямая решетка (вещественная решетка) — это периодическая функция в физическом пространстве.
- Обратная решетка существует в обратном пространстве (k-пространстве), двойственном физическому пространству.
- Обратная решетка является подрешеткой обратного пространства, двойственной прямой решетке.
-
Связь с квантовой физикой
- В квантовой физике обратное пространство связано с импульсным пространством через пропорциональность p = hk.
- Обратная решетка эквивалентна исходной прямой решетке.
-
Описание на основе волн
- Обратное пространство визуализирует результаты преобразования Фурье пространственной функции.
- Взаимное пространство и реальное пространство имеют разные количественные размерности.
- Волновые векторы в обратном пространстве определяются через длину волны и волновое число.
-
Построение обратной решетки
- Обратная решетка определяется как набор волновых векторов плоских волн в ряду Фурье.
- Волновой вектор является вершиной обратной решетки, если его фаза одинакова в каждой точке прямой решетки.
- Обратная решетка также является решеткой Браве.
-
Зона Бриллюэна
- Зона Бриллюэна — это ячейка Вигнера-Зейтца обратной решетки.
- Она играет важную роль в физике твердого тела благодаря теореме Блоха.
-
Математическое описание
- Обратная решетка может быть описана как набор волновых векторов, соответствующих плоским волнам в ряду Фурье.
- Обратная решетка является решеткой Браве, образованной целыми комбинациями примитивных векторов.
-
Выполнение функции f(r)
- Функция f(r) следует за периодичностью решетки, если r является вектором положения.
- Функция может быть записана в виде многомерного ряда Фурье.
-
Равенство рядов Фурье
- Равенство рядов Фурье подразумевает равенство их коэффициентов.
- Обратная решетка — это совокупность всех векторов Gm, удовлетворяющих равенству.
-
Обратная решетка как решетка Браве
- Обратная решетка является решеткой Браве, так как она образована целыми комбинациями примитивных векторов.
- Обратная величина обратной решетки является исходной решеткой.
-
Двумерная обратная решетка
- Для бесконечной двумерной решетки обратная решетка определяется через взаимные примитивные векторы.
- Взаимные примитивные векторы могут быть получены с помощью матричной инверсии.
-
Трехмерная обратная решетка
- Для бесконечной трехмерной решетки обратная решетка определяется через взаимные примитивные векторы.
- Взаимные примитивные векторы могут быть получены через тройное произведение.
-
Определение обратной решетки
- Существует «физическое» и «кристаллографическое» определения обратной решетки.
- «Кристаллографическое» определение упрощает математические манипуляции.
-
Индексы Миллера
- Индексы Миллера используются для записи обратной решетки.
- Каждая точка решетки соответствует набору плоскостей в реальной пространственной решетке.
-
Формула для n-мерных случаев
- Формула для n-мерных случаев может быть получена через объемную форму и внутренний продукт.
- Формула эквивалентна известным формулам для двух- и трехмерного случаев.
-
Взаимные решетки кубической системы
- Простая кубическая решетка имеет обратную решетку с кубической примитивной ячейкой со стороной 2πa.
- Гранецентрированная кубическая решетка имеет обратную решетку с объемноцентрированной кубической решеткой.
- Объемноцентрированная кубическая решетка имеет обратную решетку с гранецентрированной кубической решеткой.
-
Взаимные решетки гексагональной системы
- Простая гексагональная решетка имеет обратную решетку с гексагональной решеткой, повернутой на 90° вокруг оси с.
- Примитивные векторы перемещения для гексагональной решетки: a1 = 3/2ax^ + 1/2ay^, a2 = -3/2ax^ + 1/2ay^, a3 = cz^.
-
Взаимные решетки произвольного набора атомов
- Взаимная решетка произвольного набора атомов основана на идее рассеянных волн.
- Амплитуда рассеяния F зависит от числа атомов и атомных коэффициентов рассеяния.
- Для бесконечного кристалла амплитуда рассеяния отлична от нуля только для целых значений индексов решетки.
-
Обобщение двойной решетки
- Двойственная решетка L^ является решеткой в двойственном векторном пространстве V^.
- Двойственная решетка определяется всеми точками линейного диапазона исходной решетки.
- Двойственная часть двойной решетки является исходной решеткой.