Оглавление
- 1 Общее изменение
- 1.1 Определение общей вариации
- 1.2 Историческая справка
- 1.3 Определение общей вариации для функций от n > 1 вещественных переменных
- 1.4 Полная вариативность в теории измерений
- 1.5 Общая норма вариации комплексных показателей
- 1.6 Общая норма вариации векторных показателей
- 1.7 Общее изменение вероятностных показателей
- 1.8 Основные свойства
- 1.9 Связь между полным изменением показателя и функцией
- 1.10 Определение полного изменения знаковой меры
- 1.11 Приложения полной вариации
- 1.12 Исторические справки и рекомендации
- 1.13 Внешние ссылки и приложения
- 1.14 Полный текст статьи:
- 2 Полная вариация
Общее изменение
-
Определение общей вариации
- Общая вариация функции f на интервале [a, b] определяется как мера одномерной длины дуги кривой с параметрическим уравнением x ∈ f(x).
- Функции с конечной общей вариацией называются функциями ограниченной вариации.
-
Историческая справка
- Понятие полной вариации для функций одной действительной переменной введено Камиллом Джорданом в 1881 году.
- Джордан использовал полную вариацию для доказательства теоремы о сходимости рядов Фурье.
-
Определение общей вариации для функций от n > 1 вещественных переменных
- Общая вариация функции f в открытом подмножестве Ω определяется как интеграл по Ω от дивергенции f.
- Это определение не требует, чтобы домен Ω был ограниченным множеством.
-
Полная вариативность в теории измерений
- Общая вариация подписанной меры μ определяется как значение функции W¯(μ, ⋅) и W_(μ, ⋅) на всем пространстве определения.
- Современная нотация использует μ+ и μ- для обозначения верхней и нижней вариаций.
-
Общая норма вариации комплексных показателей
- Для комплекснозначных мер общее изменение определяется как сумма верхней и нижней вариаций на счетном числе непересекающихся измеримых подмножеств.
- Это определение совпадает с определением для реальных мер.
-
Общая норма вариации векторных показателей
- Для векторных мер общее изменение определяется аналогично комплекснозначным мерам.
- Это определение работает также для конечно-аддитивных показателей.
-
Общее изменение вероятностных показателей
- Общая вариация вероятностных мер равна единице.
- Общее расстояние изменения вероятностных мер определяется как норма разности двух мер.
-
Основные свойства
- Полное изменение дифференцируемых функций может быть выражено как интеграл.
- Для дифференцируемых функций общее изменение может быть записано как сумма локальных вариаций подинтервалов.
- Для функций нескольких переменных общее изменение определяется аналогично функциям одной переменной.
-
Связь между полным изменением показателя и функцией
- Полное изменение знаковой меры μ равно полному изменению функции φ.
- Функция φ определяется около μ.
-
Определение полного изменения знаковой меры
- Общее изменение знаковой меры может быть определено с помощью теоремы Джордана о разложении.
- Теорема Джордана применима к любой знаковой мере μ в измеримом пространстве (X, Σ).
-
Приложения полной вариации
- Полная вариация используется в оптимальном управлении, численном анализе и вариационном исчислении.
- В численном анализе дифференциальных уравнений полная вариация применяется для уменьшения общей вариации.
- В шумоподавлении изображений полная вариация используется для полного снижения шума при изменении параметров.
-
Исторические справки и рекомендации
- Первая работа о функциях ограниченной вариации принадлежит Борису Голубову.
- Статья, содержащая первое доказательство теоремы Виталия о покрытии, доступна на сайте Gallica.
- Английский перевод с французского оригинала Лоуренса Чисхолма Янга с примечаниями Стефана Банаха доступен в Numdam и Польской виртуальной научной библиотеке.
-
Внешние ссылки и приложения
- Полная вариация на PlanetMath.
- Функция ограниченной вариации в Математической энциклопедии.
- Разложение Джордана в PlanetMath и Математической энциклопедии.
- Работа, посвященная применению тотальной вариативности в задачах шумоподавления при обработке изображений.
- Обработка и анализ изображений – вариационные, PDE, вейвлет- и стохастические методы, SIAM, ISBN 0-89871-589-X.