Оглавление
- 1 Список тригонометрических тождеств
- 1.1 История и использование тригонометрии
- 1.2 Основные тождества
- 1.3 Периодичность и знаки
- 1.4 Тождества бесконечно больших углов
- 1.5 Формулы суммы синуса и косинуса
- 1.6 Формулы для тангенса и котангенса
- 1.7 Формулы для секущих и косекантов
- 1.8 Теорема Птолемея
- 1.9 Многоугольные и полуугольные формулы
- 1.10 Формулы синуса и косинуса
- 1.11 Метод Чебышева
- 1.12 Формулы полууглов
- 1.13 Формулы для снижения энергопотребления
- 1.14 Тождества “Продукт-сумма” и “сумма-продукт”
- 1.15 Тождества суммы и произведения
- 1.16 Кокасательная идентичность Эрмита
- 1.17 Конечные произведения тригонометрических функций
- 1.18 Линейные комбинации
- 1.19 Тригонометрические тождества Лагранжа
- 1.20 Ядро Дирихле
- 1.21 Линейные дробные преобразования
- 1.22 Связь с гиперболическими функциями
- 1.23 Расширение серии
- 1.24 Обратные тригонометрические функции
- 1.25 Тождества отражения
- 1.26 Разложение арктангенса
- 1.27 Тождества без переменных
- 1.28 Основные факты о неприводимых круговых многочленах
- 1.29 Косинусоидальные тождества
- 1.30 Передаточная функция фильтра нижних частот Баттерворта
- 1.31 Вычисление π
- 1.32 Тождество Евклида
- 1.33 Состав тригонометрических функций
- 1.34 Условные тригонометрические тождества
- 1.35 Свойства тригонометрических функций
- 1.36 Исторические сокращения
- 1.37 Ядро Дирихле
- 1.38 Замена тангенса на половину угла
- 1.39 Бесконечный продукт Viète
- 1.40 Дополнительные темы
- 1.41 Полный текст статьи:
- 2 Список тригонометрических тождеств – Arc.Ask3.Ru
Список тригонометрических тождеств
-
История и использование тригонометрии
- Тригонометрия включает функции sin, cos, tan и их обратные.
- Обобщенная тригонометрия включает точные константы и таблицы.
- Единичный круг используется для определения значений тригонометрических функций.
-
Основные тождества
- Тождество Пифагора: sin²θ + cos²θ = 1.
- Тождества суммы и разности углов: sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ, cos(α + β) = cosα cosβ – sinα sinβ.
- Тождества разности углов: sin(α – β) = sinα cosβ – cosα sinβ, cos(α – β) = cosα cosβ + sinα sinβ.
-
Периодичность и знаки
- Тригонометрические функции периодичны с периодом 2π.
- Знаки функций зависят от квадранта угла.
-
Тождества бесконечно больших углов
- Синусы и косинусы сумм бесконечно больших углов выражаются через произведения синусов и косинусов.
- Касательные и котангенсы сумм выражаются через элементарные симметричные многочлены.
-
Формулы суммы синуса и косинуса
- Сумма синуса и косинуса двух углов равна разности квадратов их тангенсов.
- Сумма синуса и косинуса трех углов равна сумме квадратов их тангенсов минус произведение их квадратов.
-
Формулы для тангенса и котангенса
- Тангенс суммы двух углов равен разности квадратов их тангенсов.
- Котангенс суммы двух углов равен разности квадратов их котангенсов.
-
Формулы для секущих и косекантов
- Секущая суммы двух углов равна произведению их тангенсов на их котангенсы.
- Косекант суммы двух углов равен произведению их тангенсов на их секансы.
-
Теорема Птолемея
- Теорема Птолемея утверждает, что сумма произведений длин противоположных сторон четырехугольника равна произведению длин диагоналей.
- В особых случаях теорема приводит к тригонометрическим тождествам суммы и разности углов.
-
Многоугольные и полуугольные формулы
- Формулы с несколькими углами наклона включают удвоение и утроение углов.
- Формулы для удвоения угла включают использование квадрата тангенса и косинуса.
- Формулы для утроения угла включают использование куба тангенса и косинуса.
-
Формулы синуса и косинуса
- Синус и косинус могут быть выражены через суммы и произведения.
- Формулы включают суммы и произведения степеней синуса и косинуса.
- Формулы могут быть использованы для вычисления тригонометрических функций.
-
Метод Чебышева
- Метод Чебышева позволяет находить формулы для кратных углов.
- Метод основан на рекурсивном алгоритме.
- Формулы Чебышева включают многочлены от синуса и косинуса.
-
Формулы полууглов
- Формулы полууглов включают синус, косинус, тангенс, котангенс и секанс.
- Формулы могут быть выражены через знаки синуса и косинуса.
- Формулы используются для вычисления тригонометрических функций.
-
Формулы для снижения энергопотребления
- Формулы для снижения энергопотребления включают формулы двойного угла косинуса.
- Формулы могут быть выведены с помощью формул Де Муавра, Эйлера и биномиальной теоремы.
-
Тождества “Продукт-сумма” и “сумма-продукт”
- Тождества “Продукт-сумма” включают формулы для косинуса и синуса.
- Тождества могут быть доказаны с помощью теорем сложения углов.
- Тождества “сумма-продукт” включают формулы для тангенса и котангенса.
-
Тождества суммы и произведения
- sin θ ± sin φ = 2 sin(θ ± φ/2) cos(θ ± φ/2)
- cos θ + cos φ = 2 cos(θ + φ/2) cos(θ – φ/2)
- cos θ – cos φ = -2 sin(θ + φ/2) sin(θ – φ/2)
- tan θ ± tan φ = sin(θ ± φ) / cosθ cosφ
-
Кокасательная идентичность Эрмита
- cot(z – a1) · · · cot(z – an) = cos(nπ/2) + sum(Ank cot(z – ak))
- Пример: cot(z – a1) cot(z – a2) = -1 + cot(a1 – a2) cot(z – a1) + cot(a2 – a1) cot(z – a2)
-
Конечные произведения тригонометрических функций
- Для взаимно простых чисел n, m: prod(2a + 2cos(2πkm/n + x)) = 2(Tn(a) + (-1)^n+m cos(nx))
- Для синусоидальной функции: prod(sin(kπ/n)) = n/2^n-1
- Для целого числа n > 0: sin(nx) = 2^n-1 prod(sin(kπ/n + x)) = 2^n-1 prod(sin(kπ/n – x))
-
Линейные комбинации
- Линейная комбинация синусоидальных волн эквивалентна одной синусоидальной волне с другим фазовым сдвигом
- a cos x + b sin x = c cos(x + φ)
- a sin(x + θa) + b sin(x + θb) = c sin(x + φ)
-
Тригонометрические тождества Лагранжа
- ∑k=0^n sin kθ = cos(1/2θ) – cos((n+1/2)θ)/2sin(1/2θ)
- ∑k=0^n cos kθ = sin(1/2θ) + sin((n+1/2)θ)/2sin(1/2θ)
-
Ядро Дирихле
- Dn(θ) = 1 + 2∑k=1^n cos kθ = sin((n+1/2)θ)/sin(1/2θ)
-
Линейные дробные преобразования
- f(g(x)) = g(f(x)) = (cos(α + β))x – sin(α + β) / (sin(α + β)x + cos(α + β))
-
Связь с гиперболическими функциями
- Тригонометрические функции могут быть выражены через гиперболические функции.
- Формулы для этих соотношений приведены в статье.
-
Расширение серии
- При использовании разложения в степенной ряд получаются тождества.
- Бесконечные формулы продуктов полезны для специальных функций.
-
Обратные тригонометрические функции
- Тождества для обратных тригонометрических функций.
- Примеры включают использование мультипликативной обратной величины.
-
Тождества отражения
- Тождества для арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.
- Примеры включают π/2 = arcsin(x) + arccos(x) и π = arccos(x) + arccos(-x).
-
Разложение арктангенса
- Арктангенс может быть разложен в ряд.
- Пример: arctan(nx) = ∑m=1n arctan(x)/(1+(m-1)mx^2).
-
Тождества без переменных
- Примеры включают arctan(1/2) = arctan(1/3) + arctan(1/7).
- Закон Морри: cos(20°) ⋅ cos(40°) ⋅ cos(80°) = 1/8.
- Аналогичные тождества для sin(20°) и sin(40°).
-
Основные факты о неприводимых круговых многочленах
- Косинусы являются действительными частями нулей этих многочленов
- Сумма нулей равна функции Мебиуса, вычисленной при 21
- Только половина нулей присутствует в последнем случае
-
Косинусоидальные тождества
- 2cos(π/3) = 1, 2cos(π/5) × 2cos(2π/5) = 1, 2cos(π/7) × 2cos(2π/7) × 2cos(3π/7) = 1
- Сумма косинусов нечетных чисел равна 1
-
Передаточная функция фильтра нижних частот Баттерворта
- ∏k=1n-1 sin(kπ/n) = n/2n-1, ∏k=1n-1 cos(kπ/n) = sin(πn/2)/2n-1
- ∏k=1m tan(kπ/2m+1) = 2m+1
-
Вычисление π
- π/4 = 4arctan(1/5) − arctan(1/239)
- π/4 = 5arctan(1/7) + 2arctan(3/79)
- π = arccos(4/5) + arccos(5/13) + arccos(16/65) = arccos(3/5) + arccos(12/13) + arccos(63/65)
-
Тождество Евклида
- sin^2(18°) + sin^2(30°) = sin^2(36°)
- Птолемей использовал это для вычисления углов в “Альмагесте”
-
Состав тригонометрических функций
- Тригонометрическая функция от тригонометрической функции
-
Условные тригонометрические тождества
- α + β + γ = 180°
- tanα + tanβ + tanγ = tanα tanβ tanγ
- sinα + sinβ + sinγ = 4cos(α/2)cos(β/2)cos(γ/2)
- sin(2α) + sin(2β) + sin(2γ) = 4cosαcosβcosγ
- sin2α + sin2β + sin2γ = 2cosαcosβcosγ + 2
- sin2(2α) + sin2(2β) + sin2(2γ) = −2cos(2α)cos(2β)cos(2γ) + 2
-
Свойства тригонометрических функций
- Тригонометрические функции используются для описания углов и их соотношений.
- Основные тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс и котангенс.
- Тригонометрические тождества позволяют связывать различные функции.
-
Исторические сокращения
- В навигации использовались термины “версин”, “каверсин”, “хаверсин” и “эксекант”.
- Эти термины редко используются в современной навигации.
-
Ядро Дирихле
- Ядро Дирихле Dn(x) возникает из тождества, связывающего синус и косинус.
- Свертка любой интегрируемой функции с ядром Дирихле совпадает с ядром функции n-й степени.
-
Замена тангенса на половину угла
- Замена t = tan x/2 позволяет выразить синус, косинус и экспоненту через рациональные функции t.
- Эта замена используется в математическом анализе для нахождения первообразных.
-
Бесконечный продукт Viète
- Произведение косинусов, деленных на степени двойки, равно синусу, деленному на угол.
- Это выражение называется “sinc” и используется в тригонометрии.
-
Дополнительные темы
- Неравенство Аристарха, производные тригонометрических функций, точные тригонометрические значения.
- Формула с половиной стороны, гиперболическая функция, сферический закон косинусов, закон синусов, закон касательных, закон котангенсов, формула Молльвейде.
- Список интегралов тригонометрических функций, мнемоника в тригонометрии, пентаграмма мирификум, доказательства тригонометрических тождеств.
- Протезирование, теорема Пифагора, формула полуугла касательной, тригонометрическое число, тригонометрия, использование тригонометрии.
- Версин и хаверсин, рекомендации, библиография, внешние ссылки.