Порядковая арифметика

• Основы теории порядков

  • Порядки — это математические объекты, которые упорядочивают множество чисел. 
  • Порядки могут быть определены как множества, упорядоченные по отношению «меньше или равно». 
  • Порядки являются фундаментальными для математики и логики. 

• Порядковые числа и их свойства

  • Порядковые числа могут быть бесконечными или конечными. 
  • Порядковые числа могут быть определены как наименьшие элементы в упорядоченном множестве. 
  • Порядковые числа обладают свойствами транзитивности и антисимметричности. 

• Нормальная форма Кантора

  • Нормальная форма Кантора — это способ представления порядковых чисел в виде конечных сумм и произведений. 
  • Нормальная форма Кантора позволяет однозначно выразить ординалы с помощью конечного числа арифметических операций. 
  • Нормальная форма Кантора используется для вычисления сумм и произведений ординалов. 

• Разложение на простые числа

  • Ординалы могут быть разложены на конечные простые числа. 
  • Существует уникальная факторизация ординалов на простые числа, которая удовлетворяет определенным условиям. 
  • Факторизация ординалов в простые числа не является уникальной, но существует минимальная факторизация. 

• Большие счетные порядковые числа

  • Нормальная форма ординалов ниже ε0 может быть представлена в конечном алфавите с использованием операций сложения, умножения и возведения в степень. 
  • Эта система порядковых обозначений называется набором арифметических порядковых выражений и может выражать все порядковые числа ниже ε0. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.