Цепной комплекс

• Определение и свойства цепных комплексов

  • Цепной комплекс — это последовательность групп, связанных операторами, которые коммутируют с граничными операторами. 
  • Цепной комплекс имеет верхнюю и нижнюю границы, и его группы гомологии являются группами циклов и границ соответственно. 

• Примеры цепных комплексов

  • Сингулярная гомология — это цепной комплекс, связанный с топологическими пространствами. 
  • Когомологии де Рама — это цепной комплекс дифференциальных форм на гладком многообразии. 

• Цепные отображения и гомотопии

  • Цепная карта — это гомоморфизм, который коммутирует с операторами границ. 
  • Цепная гомотопия связывает две цепные карты, которые индуцируют одно и то же отображение в группах гомологий. 

• Примеры и приложения

  • Сингулярная гомология используется для изучения топологических пространств. 
  • Когомологии де Рама важны для дифференциальной геометрии. 
  • Категория цепных комплексов позволяет изучать тензорные произведения и внутренние Hom. 

• Эквивалентность с симплициальными абелевыми группами

  • Существует соответствие между категориями цепных комплексов и симплициальных абелевых групп.