Матричное сходство

• Определение подобия матриц

  • Две матрицы A и B подобны, если существует обратимая матрица P, такая что A = P−1BP. 
  • Преобразование A в P−1AP называется преобразованием подобия или сопряжением. 
  • В общей линейной группе понятие сопряженности совпадает с подобием, но в подгруппе H может быть более строгим. 

• Пример преобразования подобия

  • Изменение базиса может упростить форму линейного преобразования. 
  • Пример: поворот в R3 с осью вращения, не выровненной с осью координат, становится простым в новом базисе. 
  • Преобразование подобия выполняется в три этапа: переход к новому базису, простое преобразование и возврат к старому базису. 

• Свойства подобия матриц

  • Подобие является отношением эквивалентности в пространстве матриц. 
  • Подобие сохраняет все свойства общего базового оператора, включая ранг, определитель, след и собственные значения. 
  • Диагонализируемость матрицы означает, что она подобна диагональной матрице. 
  • Рациональная каноническая форма является уникальной и может быть вычислена без разложения на множители. 
  • Подобие не зависит от базового поля, если K является подполем L. 

• Дополнительные сведения

  • Существуют различные канонические формы матриц, включая жордановы формы и нормальную форму Смита. 
  • Спектральная теорема утверждает, что нормальная матрица унитарно эквивалентна диагональной матрице. 
  • Теорема Шпехта связывает унитарную эквивалентность с равенствами трассировки.