Метка: Category theory
-
Композиционная теория игр — Википедия
Теория композиционных игр Теория композиционных игр Теория композиционных игр объединяет простые игры в сложные. Цель — упростить анализ больших игр с помощью программных средств. Мотивация и принцип модульности В информатике создание простых строительных блоков и их объединение упрощает анализ сложных структур. Классическая теория игр рассматривает сложные игры как монолитные объекты, что затрудняет их анализ. Игра…
-
Монада (теория категорий) — Википедия
Монада (теория категорий) Основы теории монад Монады — это функторы, которые отображают категории в категории эндофункторов. Функторы являются объектами, которые отображают элементы одной категории в элементы другой. Эндофункторы отображают элементы категории в эндоморфизмы. Примеры монад Монада списка отображает множество X в множество списков с элементами из X. Монада состояния моделирует вычисления с учетом состояния. Монада…
-
F-коалгебра — Википедия
F-коалгебра Определение F-коалгебры F-коалгебра — структура, определенная функтором F, обладающая особыми свойствами. Функтор F является удобным способом организации сигнатуры в математике. Применение в информатике F-коалгебры используются для описания отложенного вычисления, бесконечных структур данных и систем переходов. Они двойственны F-алгебрам и образуют ковариацию сигнатуры, заданной формулой F. Примеры F-коалгебр Пример: конечная коалгебра для эндофунктора, отправляющего множество…
-
F-алгебра — Википедия
F-алгебра Определение и примеры F-алгебр F-алгебра — это алгебра, в которой каждый элемент является функцией. Примеры включают списки, деревья и другие структуры данных. F-алгебры могут быть использованы для описания типов данных в программировании. Индуктивные и коиндуктивные типы Индуктивные типы данных используются для описания последовательностей, таких как натуральные числа. Коиндуктивные типы данных позволяют создавать бесконечные структуры…
-
Эскиз (математика) — Википедия
Эскиз (математика) Основы теории категорий Эскиз в категории D — это категория с конусами и коконами. Модель эскиза в категории C — это функтор, преобразующий конусы и коконы в соответствующие предельные объекты. Морфизмы моделей — это естественные преобразования. Эскизы являются аналогом логических моделей в теории категорий. Изобретение и определения Эскизы были изобретены Чарльзом Эресманом в…
-
Пространство Чу — Википедия
Пространство Чу Определение пространств Чу Пространства Чу обобщают топологические пространства, отказываясь от некоторых требований. Определение непрерывной функции требует переформулировки для сохранения смысла после обобщений. Название и история Названы в честь По-Сян Чу, разработавшего систему проверки автономных категорий. Статическое и динамическое понимание Статическое понимание: пространство Чу состоит из множества точек, состояний и функции принадлежности. Динамическое понимание:…
-
Инъекционный когенератор — Википедия
Инжекционный когенератор Основы теории категорий Генераторы и когенераторы — объекты, которые приближают другие объекты. Генератор категории с нулевым объектом — объект G, для которого существует ненулевой морфизм от каждого ненулевого объекта. Когенератор — объект C, для которого существует ненулевой морфизм от каждого ненулевого объекта в обратном порядке. Примеры в абелевых группах Целые числа являются генератором…
-
Изображение (теория категорий) — Википедия
Изображение (теория категорий) Определение и свойства изображения Изображение морфизма — это морфизм, обратный к исходному морфизму. В категории с конечными пределами и коллимациями, изображение морфизма — это эквалайзер пары коядер. В абелевой категории, изображение морфизма является обратным к коядру. Примеры и теоремы В категории множеств, изображение морфизма — это включение образа в область морфизма. В…
-
Категория Вальдхаузен — Википедия
Категория Вальдхаузена Определение и свойства K-теории K-теория — это теория, изучающая категории с морфизмами, которые удовлетворяют некоторым условиям. K-теория была введена Куртцем и Виттом в 1960-х годах и связана с алгебраической топологией и гомологической алгеброй. Важность K-теории K-теория играет ключевую роль в алгебраической K-теории, гомологической теории и теории гомотопий. Она позволяет изучать категории, которые не…
-
Посетальная категория — Википедия
Конечная категория Определение позитальной категории Позитальная категория — это категория с не более чем одним морфизмом на множество. Конечная категория — это заранее упорядоченный класс объектов. Скелетность и позитивность Скелетность категории эквивалентна требованию, что все изоморфизмы являются тождественными морфизмами. Категория является позитальной, если она удовлетворяет антисимметрии. Диаграммы и категории Диаграммы относятся к определенной категории. Коммутативные…
-
Q-категория — Википедия
Q-категория Определение Q-категории Q-категория — это «упрощенная версия сайта Гротендика» Категория Q является корефлексивной подкатегорией Буква Q означает «частное» История и мотивация Понятие Q-категорий введено Александром Розенбергом в 1988 году Используется в некоммутативной алгебраической геометрии для определения некоммутативных пространств как пучков на Q-категориях Определение Q-категории Категория Q определяется через функторы сопряжения Функтор u_* является полным…
-
Категория продукта — Википедия
Категория продукта Определение категории продукта Категория продукта C × D объединяет объекты и стрелки из C и D. Композиция стрелок в категории продукта соответствует композиции в категориях C и D. Пара идентификаторов из C и D используется для идентификации объектов. Связь с другими понятиями Для небольших категорий продукт совпадает с действием в категории Cat. Функтор…
-
Категория волокна — Википедия
Категория волокнистых материалов Определение и примеры расслоенных категорий Расслоенная категория — это категория, в которой каждый объект имеет слой, а морфизмы отображают слои в слои. Примеры включают категории расслоений над топологическими пространствами и категории расслоений над группоидами. Расслоенные категории и функторы Функтор между расслоенными категориями отображает слои в слои, сохраняя структуру морфизмов. Расслоенные категории могут…
-
Категория волокна — Википедия
Категория волокнистых материалов Определение и примеры расслоенных категорий Расслоенная категория — это категория, в которой каждый объект имеет слой, а морфизмы отображают слои в слои. Примеры включают категории расслоений над топологическими пространствами и категории расслоений над группоидами. Расслоенные категории и функторы Функтор между расслоенными категориями отображает слои в слои, сохраняя структуру морфизмов. Расслоенные категории могут…
-
Нерв (теория категорий) — Википедия
Нерв (теория категорий) Определение и применение нерва в теории категорий Нерв N(C) категории C представляет собой симплициальное множество, связанное с объектами и морфизмами C. Геометрическая реализация N(C) — это классифицирующее пространство категории C, которое предоставляет информацию о категории через алгебраическую топологию. Мотивация и построение Категория C используется для построения топологических пространств модулей, которые кодируют изоморфизмы…
-
Мультикатегория — Википедия
Многокатегорийность Определение и примеры Мультикатегория — это категория, в которой морфизмы могут быть отображены в последовательности. Примеры включают категории множеств, векторных пространств и моноидальных категорий. Структура и операции Мультикатегория состоит из множества объектов, морфизмов и специального тождественного морфизма. Существуют операции композиции морфизмов, удовлетворяющие аксиомам ассоциативности. Категории сайтов Общая категория — это упорядоченный набор объектов с…
-
Монада (теория категорий) — Википедия
Монада (теория категорий) Основы теории монад Монады — это функторы, которые отображают категории в категории эндофункторов. Функторы являются объектами, которые отображают элементы одной категории в элементы другой. Эндофункторы отображают элементы категории в эндоморфизмы. Примеры монад Монада списка отображает множество X в множество списков с элементами из X. Монада состояния моделирует вычисления с учетом состояния. Монада…
-
Монада (теория категорий) — Википедия
Монада (теория категорий) Основы теории монад Монады — это функторы, которые отображают категории в категории эндофункторов. Функторы являются объектами, которые отображают элементы одной категории в элементы другой. Эндофункторы отображают элементы категории в эндоморфизмы. Примеры монад Монада списка отображает множество X в множество конечных последовательностей элементов из X. Монада состояния моделирует вычисления с учетом состояния. Монада…
-
Изображение (теория категорий) — Википедия
Изображение (теория категорий) Определение и свойства изображения Изображение морфизма — это морфизм, обратный к исходному. В категории с конечными пределами и коллимациями, изображение — это эквалайзер пары коядер. В абелевой категории, изображение мономорфизма совпадает с его ядром и коядром. Факторизация морфизма Факторизация морфизма — это его разложение на мономорфизмы. Если категория имеет все эквалайзеры, то…
-
Т-структура — Википедия
Т-образная структура Определение т-структуры Т-структура — это тройка функторов, удовлетворяющих аксиомам. Функторы должны быть естественными и иметь выделенные треугольники. Примеры т-структур Примеры включают производные категории абелевых категорий и категории пучков. В производной категории абелевых категорий т-структура возникает из естественной т-структуры. В категории пучков т-структура связана с пучками когомологий и геометрической т-структурой. Функторы усечения и их…