Метка: Дифференциальная топология
-
Тензорное поле — Википедия
Тензорное поле Определение тензора Тензор — это математический объект, который преобразуется по определенным правилам при изменении координат. Тензорное поле — это множество тензоров, которые преобразуются одинаково при изменении координат. Примеры тензорных полей Тензор кривизны в дифференциальной геометрии и тензор энергии-импульса в физике связаны общей теорией относительности. В электромагнетизме электрическое и магнитное поля объединяются в электромагнитное…
-
Сантехника (математика) — Википедия
Сантехника (математика) Основы теории хирургии Теория хирургии изучает хирургические вмешательства на многообразиях. Хирургическая обструкция — это препятствие для проведения операции. Многообразие Милнора Многообразие Милнора — это 4k-мерное многообразие, полученное из касательного расслоения 2k-сферы. Для k>1 граница многообразия Милнора является гомотопической сферой. Теорема о водопроводе Теорема о водопроводе утверждает, что для всех k>1 и l∈Z существует…
-
Проблема Шенфлиса — Википедия
Проблема с мушками Теорема Шенфлайса Теорема утверждает, что любая гладкая кривая на сфере может быть преобразована в окружность. Преобразование включает в себя отображение кривой на конечную часть плоскости и перевод начала координат в точку на бесконечности. Кривая преобразуется в окружность с помощью векторного поля, которое является поперечным к сторонам треугольника, образованного кривой. Обобщения и следствия…
-
Теория Серфа — Википедия
Теория Серфа Теорема Серфа о h-кобордизме Теорема Серфа утверждает, что диффеоморфизмы, сохраняющие ориентацию, являются изотопными. Доказательство основано на работах Тома и Мазера и является однопараметрическим расширением теоремы Смейла. Приложения и обобщения Теория Серфа использовалась для обоснования расчета Кирби и классификации псевдоизотопий многомерных многообразий. Серф разработал стратификацию дополнения одномерного подпространства в пространстве гладких отображений. Аллен Хэтчер…
-
Ориентируемость — Википедия
Ориентируемость Определение и свойства ориентируемости Ориентируемость — это свойство многообразия, определяющее направление обхода вокруг каждой точки. Ориентируемость многообразия M определяется как наличие ориентированного атласа, который определяет ориентацию каждой точки. Ориентация и гомологии Ориентируемость связана с первой группой гомологий, которая должна быть изоморфна Z. Ориентация многообразия определяется выбором генератора из этой группы. Ориентация и когомологии Ориентируемость…
-
h-кобордизм — Википедия
Н-кобордизм Определение и свойства h-кобордизма h-кобордизм — это гомотопическая эквивалентность между многообразиями, сохраняющая ориентацию и гомотопические классы. h-кобордизм является обобщением кобордизма Уайтхеда и имеет важное значение в теории гомотопий. Теорема о h-кобордизме Теорема утверждает, что h-кобордизмы между многообразиями образуют группоид, где классы изоморфизма являются торсорами для групп Уайтхеда. Теорема была доказана независимо несколькими авторами, включая…
-
Экзотическая сфера — Википедия
Экзотическая сфера Определение экзотических сфер Экзотические сферы — это гладкие многообразия, которые не являются стандартными сферами. Они имеют различные гладкие структуры, отличные от стандартной сферы. Примеры экзотических сфер Джон Милнор представил пример экзотической сферы, полученной склеиванием двух копий шара. Эгберт Брискорн показал, что пересечение комплексного многообразия с малой сферой дает все возможные гладкие структуры на…
-
Трансверсальность (математика) — Википедия
Трансверсальность (математика) Определение и примеры трансверсальности Трансверсальность — это условие, при котором касательное пространство к многообразию пересекается с подмногообразием под прямым углом. В геометрии трансверсальность используется для описания пересечения двух многообразий. В алгебре трансверсальность применяется для описания пересечения двух идеалов. В теории представлений трансверсальность описывает структуру алгебры Ли. Применение трансверсальности в оптимизации В вариационном исчислении…
-
Экзотическая сфера — Википедия
Экзотическая сфера Определение экзотических сфер Экзотические сферы — это гладкие многообразия, которые не являются стандартными сферами. Они имеют различные гладкие структуры, отличные от стандартной сферы. Примеры экзотических сфер Джон Милнор представил пример экзотической сферы, полученной склеиванием двух копий шара. Эгберт Брискорн показал, что пересечение комплексного многообразия с малой сферой дает все возможные гладкие структуры на…
-
Тангенс — Википедия
Касательный Определение касательной Касательная — прямая, проходящая через точку кривой и имеющая с ней одинаковый наклон. Наклон касательной равен производной функции в точке касания. Примеры касательных Касательная к прямой линии всегда параллельна самой прямой. Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Касательная к эллипсу, параболе и гиперболе определяется через их уравнения. Уравнение…
-
Выворот сферы — Википедия
Выворот сферы Выворачивание сферы Процесс выворачивания сферы в трехмерном пространстве без разрезов и складок. Парадокс, который кажется ложным, но является истинным. История и доказательство Стивен Смейл впервые доказал существование выворачивания сферы в 1957 году. Пример выворачивания был продемонстрирован математиками, включая Арнольда С. Шапиро и Бернарда Морена. Рауль Ботт изначально считал результат Смейла неправильным, но позже…
-
Цепной комплекс — Википедия
Цепной комплекс Определение и свойства цепных комплексов Цепной комплекс — это последовательность групп, связанных операторами, которые коммутируют с граничными операторами. Цепной комплекс имеет начальную группу, конечную группу и дифференциальный оператор. Цепные комплексы могут быть определены для топологических пространств, многообразий, групп и других алгебраических объектов. Примеры цепных комплексов Примеры включают сингулярные гомологии, когомологии де Рама и…
-
Аксиома склеивания — Википедия
Аксиома склеивания Определение и свойства пучков Пучки — это категории, в которых каждый объект имеет пучок, связанный с ним. Пучки могут быть определены как функторы, сохраняющие конечные продукты. Пучки на топологическом пространстве могут быть определены как категории, в которых каждый объект имеет пучок, связанный с ним, и каждый морфизм пучков является естественным преобразованием. Примеры и…
-
Цепной комплекс — Википедия
Цепной комплекс Определение и свойства цепных комплексов Цепной комплекс — это последовательность групп, связанных операторами, которые коммутируют с граничными операторами. Цепные комплексы используются для изучения гомологий и гомотопий в топологии и алгебраической топологии. Примеры цепных комплексов Сингулярная гомология — это цепной комплекс, связанный с топологическими пространствами. Когомологии де Рама — это цепной комплекс дифференциальных форм…
-
Теория Дональдсона — Википедия
Теория Дональдсона Основы теории Дональдсона Теория Дональдсона изучает топологию 4-мерных многообразий с использованием пространств модулей антидвойственных инстантонов. Саймон Дональдсон доказал теорему, ограничивающую формы во второй группе когомологий односвязных 4-многообразий. Следствия и ограничения Теория Дональдсона имеет важные следствия, включая существование экзотического R4 и опровержение теоремы о гладком h-кобордизме. Результаты теории Дональдсона применимы только к дифференциально структурированным…
-
Продукция Massey — Википедия
Продукт Massey Определение и свойства произведения Масси Произведение Масси связывает классы когомологий через тройное произведение. Произведение Масси непусто, если все его элементы находятся в одном классе факторной группы. Если два попарных произведения равны нулю, то тройное произведение также исчезает. Геометрическая интерпретация В сингулярных когомологиях произведение Масси интерпретируется как пересечение многообразий. Двойственность Пуанкаре позволяет интерпретировать продукт…
-
Цепной комплекс — Википедия
Цепной комплекс Определение и свойства цепных комплексов Цепной комплекс — это последовательность групп, связанных операторами, которые коммутируют с граничными операторами. Цепной комплекс имеет верхнюю и нижнюю границы, и его группы гомологии являются группами циклов и границ соответственно. Примеры цепных комплексов Сингулярная гомология — это цепной комплекс, связанный с топологическими пространствами. Когомологии де Рама — это…
-
Цепной комплекс — Википедия
Цепной комплекс Определение и свойства цепных комплексов Цепной комплекс — это последовательность групп, связанных операторами, которые коммутируют с граничными операторами. Цепной комплекс имеет верхнюю и нижнюю границы, и его группы гомологии являются группами циклов и границ соответственно. Примеры цепных комплексов Сингулярная гомология — это цепной комплекс, связанный с топологическими пространствами. Когомологии де Рама — это…
-
Связная сумма — Википедия
Связанная сумма Определение узла Узел — это одномерное многообразие без края. Узел может быть представлен как окружность с отверстием. Связанные узлы Связанная сумма двух узлов — это сумма их одномерных многообразий. Связанная сумма узлов имеет более сложное определение и четко определена для ориентированных узлов. Коммутативность и простые узлы Коммутативность узлов означает, что их можно складывать…
-
Алгеброид Ли — Википедия
Алгеброид Ли Определение алгеброида Ли Алгеброид Ли — это векторное расслоение с дополнительной структурой алгебры Ли. Алгеброид Ли имеет структуру векторного расслоения и алгебры Ли одновременно. Примеры алгеброидов Ли Алгеброиды Ли включают алгебры Ли групп Ли, алгебры Ли алгебр Ли и алгебры Ли дифференциальных операторов. Примеры алгеброидов Ли включают алгебры Ли Пуассона многообразий и алгебры…