Метка: Functional analysis
-
Бесконечномерная оптимизация — Википедия
Бесконечномерная оптимизация Бесконечномерная оптимизация Неизвестные оптимальные решения могут быть функциями или формами, а не числами или векторами. Задачи оптимизации с непрерывными величинами являются бесконечномерными. Примеры задач Поиск кратчайшего пути между двумя точками на плоскости с использованием евклидовой метрики. Определение формы чашки с минимальной площадью боковой стенки, которая не является конической или цилиндрической. Нахождение формы моста,…
-
Пространство Бэра — Википедия
Свободное пространство Определение пространства Бэра Пространство Бэра — топологическое пространство, в котором каждое открытое плотное множество имеет непустую внутренность. Пространство Бэра является обобщением понятия метризуемого пространства. Эквивалентности и теорема о категориях Бэра Эквивалентность между пространством Бэра и множеством, имеющим внутреннюю точку, и между пространством Бэра и объединением замкнутых множеств. Теорема о категориях Бэра устанавливает достаточные…
-
Опорная гиперплоскость — Википедия
Поддерживающая гиперплоскость Определение опорной гиперплоскости Опорная гиперплоскость — это гиперплоскость, которая полностью содержится в одном из замкнутых полупространств и имеет граничную точку на ней. Теорема о гиперплоскости Если множество S является выпуклым и имеет граничную точку x0, то существует опорная гиперплоскость, содержащая x0. Если x∗ является ненулевым линейным функционалом, который удовлетворяет условию x∗(x0) ≥ x∗(x)…
-
Теория дополнительности — Википедия
Теория взаимодополняемости Определение и история Задача о взаимодополняемости — это математическая оптимизация с ограничениями на внутреннее произведение векторов. Проблема взаимодополняемости связана с линейным и квадратичным программированием и биматричными играми. Области математики и науки Теория взаимодополняемости применяется в оптимизации, равновесии, вариационных неравенствах и других областях. Рекомендации и дальнейшее чтение Статья содержит ссылки на внешние ресурсы и…
-
Вырожденная билинейная форма — Википедия
Вырожденная билинейная форма Определение вырожденной билинейной формы Билинейная форма f (x, y) в векторном пространстве V называется вырожденной, если отображение из V в V∗ не является изоморфизмом. В конечномерном случае вырожденная форма имеет нетривиальное ядро. Примеры невырожденных форм Внутренние произведения и симплектические формы являются важными примерами невырожденных форм. Симметричные невырожденные формы обобщают внутренние произведения, позволяя…
-
Банахово пространство — Википедия
Банахово пространство Определение и свойства банаховых пространств Банахово пространство — это полное метрическое пространство с определенной нормой. Банаховы пространства обладают свойством полноты, что означает, что любая последовательность сходится. Банаховы пространства могут быть бесконечномерными, и их топология уникальна. Примеры банаховых пространств Гильбертово пространство ℓ 2 ( N ) {\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )} Банахово пространство с…
-
Норма (математика) — Википедия
Норма (математика) Определение нормы в математике Норма вектора — это число, которое измеряет расстояние между векторами в векторном пространстве. Норма может быть определена как максимальное или минимальное значение скалярного произведения между векторами. Примеры норм Евклидова норма — это максимальное расстояние между векторами. Норма такси — это сумма абсолютных значений координат вектора. Норма для Манхэттена —…
-
Ограниченное множество — Википедия
Ограниченное множество Определение ограниченного множества Множество называется ограниченным, если все его точки находятся на определенном расстоянии друг от друга. Множество, которое не ограничено, называется неограниченным. Ограниченное множество не имеет смысла без метрики. Граница и замкнутость Изолированный круг является безграничным ограниченным множеством, в то время как полуплоскость не ограничена, но имеет границу. Ограниченное множество не обязательно…
-
Сублинейная функция — Википедия
Сублинейная функция Определение и свойства сублинейных функций Сублинейная функция — это функция, которая удовлетворяет неравенству треугольника. Сублинейные функции являются полунормированными, то есть они сохраняют неравенство треугольника при умножении на положительное число. Сублинейные функции обладают свойством субдифференцируемости, что означает, что они могут быть дифференцированы в направлении убывания. Примеры и свойства Примеры включают функции расстояния и нормы…
-
Оператор умножения — Википедия
Оператор умножения Определение оператора умножения Оператор Tf умножает функцию φ на фиксированную функцию f Значение Tfφ(x) = f(x)φ(x) для всех φ и x Обобщение и связь с другими операторами Операторы умножения обобщают диагональные матрицы Спектральная теорема утверждает унитарную эквивалентность самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве операторам умножения Свойства оператора умножения Ограниченный оператор умножения на L2 ограничен…
-
Принцип равномерной ограниченности — Википедия
Принцип единообразной ограниченности Принцип равномерной ограниченности Принцип утверждает, что если последовательность операторов ограничена в пространстве, то она ограничена и в каждом пространстве. В банаховом пространстве, если последовательность операторов ограничена, то она сходится к оператору, который также ограничен. Примеры применения принципа В гильбертовом пространстве, если последовательность операторов ограничена, то она сходится к оператору, который также ограничен. …
-
Двойное пространство — Википедия
Двойное пространство Определение векторного пространства Векторное пространство — это множество элементов с заданной структурой, позволяющей выполнять операции сложения и умножения на число. Векторное пространство должно быть линейно однородным и иметь нулевую точку. Примеры векторных пространств Примеры включают множество всех действительных чисел, множество всех квадратных матриц и пространство всех функций на отрезке. Линейные операции Сложение векторов…
-
Абстрактное дифференциальное уравнение — Википедия
Абстрактное дифференциальное уравнение Определение и свойства задачи Коши Задача Коши — это дифференциальное уравнение с начальными условиями. Задача Коши имеет решение, если оно существует и единственно. Решение задачи Коши может быть найдено с помощью интегрального представления. Примеры задач Коши Примеры включают линейные и нелинейные задачи с постоянными и переменными коэффициентами. Задачи Коши могут быть решены…
-
Псевдодифференциальный оператор — Википедия
Псевдодифференцирующий оператор Определение псевдодифференциальных операторов Псевдодифференциальные операторы — это линейные дифференциальные операторы с бесконечно дифференцируемыми символами. Они играют ключевую роль в теории дифференциальных уравнений и математической физике. Свойства псевдодифференциальных операторов Линейные дифференциальные операторы с плавно ограниченными коэффициентами являются псевдодифференциальными. Композиция двух псевдодифференциальных операторов также является псевдодифференциальным оператором. Сопряжение и транспонирование псевдодифференциального оператора также являются псевдодифференциальными. …
-
Интеграл Петтиса — Википедия
Интеграл Петтиса Определение интегрируемости по Петтису Интегрируемость по Петтису — это свойство, при котором интеграл от функции по мере может быть выражен через интеграл от масштабируемой функции. Функция должна быть измерима и ограничена, а мера должна быть конечной. Теорема Хана-Банаха Теорема Хана-Банаха утверждает, что для каждого вектора в векторном пространстве существует непрерывный функционал, который принимает…
-
Вейвлет-преобразование — Википедия
Вейвлет-преобразование Основы вейвлет-анализа Вейвлеты — это математические инструменты для анализа и сжатия сигналов. Они основаны на идее разложения сигнала на различные частоты и временные масштабы. Вейвлеты могут быть использованы для анализа изображений, аудио и других сигналов. Математическое описание Вейвлеты являются ортогональными базисами, которые могут быть использованы для разложения сигналов. Они имеют различные типы, включая вейвлеты…
-
Функциональная интеграция — Википедия
Функциональная интеграция Определение и свойства интегралов по траекториям Интеграл по траекториям — это интеграл по бесконечному множеству точек в пространстве. Он используется в квантовой механике для вычисления амплитуды вероятности перехода между состояниями. Интеграл по траекториям является обобщением интеграла Лебега и имеет важное значение в квантовой теории поля. Примеры интегралов по траекториям Интеграл по траекториям броуновского…
-
Представительство Гельфанда — Википедия
Представление Гельфанда Определение и свойства спектра Спектр C*-алгебры — это множество комплексных чисел, для которых алгебра обратима. Спектр компактного хаусдорфова пространства — это множество точек, удаленных от компактного множества. Спектр унитарной C*-алгебры связан с пространством Гельфанда и спектральным радиусом. Связь с топологией Спектр является подмножеством единичного шара C*-алгебры и имеет поточечную сходимость. Сепарабельная C*-алгебра имеет…
-
Оператор композиции — Википедия
Оператор композиции Определение и применение оператора композиции Оператор композиции в математике определяется как линейная функция, которая отображает функцию на ее композицию с другой функцией. В физике оператор Купмана, названный в честь Бернарда Купмана, является левосопряженным оператором переноса Фробениуса-Перрона. В борелевском функциональном исчислении оператор композиции является обратным оператором в пространстве измеримых функций. В голоморфном функциональном исчислении…
-
Функциональный квадратный корень — Википедия
Функциональный квадратный корень Определение функционального квадратного корня Функциональный квадратный корень — это функция, удовлетворяющая f(f(x)) = g(x) для всех x. Обозначения для функционального квадратного корня: f = g[1/2] и f = g1/2. История изучения Хеллмут Кнезер исследовал функциональный квадратный корень из экспоненциальной функции в 1950 году. Чарльз Бэббидж изучал решения уравнения f(f(x)) = x в…