Метка: Линейная алгебра
-
Проблема линейной дополнительности — Википедия
Проблема линейной дополнительности Определение и применение задачи линейной дополнительности (LCP) LCP — это задача оптимизации, в которой необходимо найти вектор x, удовлетворяющий системе линейных неравенств Ax ≥ b и условию x ≥ 0. LCP является частным случаем задачи квадратичного программирования (QP) с ограничениями на знак переменных. Методы решения LCP Существуют различные методы решения LCP, включая…
-
Определенная квадратичная форма — Википедия
Определенная квадратичная форма Определение квадратичной формы Квадратичная форма — это сумма квадратов координат вектора. Она может быть записана как сумма произведений координат вектора на себя. Свойства квадратичной формы Положительно определенная форма имеет неотрицательные главные миноры. Отрицательно определенная форма имеет положительные главные миноры. Неопределенная форма имеет равные главные миноры. Применение квадратичной формы Используется в линейной алгебре…
-
График потока сигналов — Википедия
График потока сигналов Основы теории систем и сигналов Системы и сигналы являются ключевыми понятиями в теории систем и сигналов. Системы состоят из элементов, которые взаимодействуют друг с другом, образуя структуру. Сигналы представляют собой изменения во времени, которые могут быть описаны математически. Графики потоков сигналов Графики потоков сигналов (SFGs) являются графическим представлением систем, описываемых линейными алгебраическими…
-
Квадратичная форма — Википедия
Квадратичная форма Определение и свойства квадратичной формы Квадратичная форма — это функция, которая принимает вектор и возвращает число. Квадратичная форма может быть представлена матрицей или квадратным уравнением. Квадратичная форма является билинейной формой с определенными свойствами. Квадратичное пространство Квадратичное пространство — это векторное пространство с заданной квадратичной формой. Отображение Q является однородной функцией степени 2. Существует…
-
Обобщенный собственный вектор — Википедия
Обобщенный собственный вектор Определение и свойства собственных векторов Собственный вектор — это вектор, который удовлетворяет уравнению Собственные векторы образуют линейно независимую систему Собственные значения — это значения, при которых матрица имеет ненулевой определитель Канонический базис и собственные значения Канонический базис состоит из линейно независимых обобщенных собственных векторов Обобщенные собственные векторы образуют жордановы цепи Собственные значения…
-
Однородные координаты — Википедия
Однородные координаты Определение и свойства однородных координат Однородные координаты — это система координат, в которой все координаты пропорциональны друг другу. Они используются для описания геометрических объектов в проективной геометрии. Однородные координаты могут быть определены для точек, прямых и плоскостей. Примеры и приложения Однородные координаты используются для описания прямых и плоскостей в проективной геометрии. Они также…
-
Норма (математика) — Википедия
Норма (математика) Определение нормы в математике Норма вектора — это число, которое измеряет расстояние между векторами в векторном пространстве. Норма может быть определена как максимальное или минимальное значение скалярного произведения между векторами. Примеры норм Евклидова норма — это максимальное расстояние между векторами. Норма такси — это сумма абсолютных значений координат вектора. Норма для Манхэттена —…
-
Перевод топоров — Википедия
Перемещение осей Основы аналитической геометрии Аналитическая геометрия изучает геометрические фигуры и их свойства в двумерном пространстве. Основные понятия включают точки, прямые, плоскости и их свойства. Геометрические преобразования, такие как сдвиг, поворот и отражение, используются для изучения свойств фигур. Преобразование координат Преобразование координат позволяет переходить от одной системы координат к другой. Существуют различные методы преобразования координат,…
-
Вращение осей в двух измерениях — Википедия
Вращение осей в двух измерениях Основы вращения в геометрии Вращение — это преобразование координат точки в пространстве, при котором сохраняется расстояние между точками. Вращение может быть представлено матрицей вращения, которая преобразует координаты x, y и z. Матрица вращения имеет четыре элемента, которые зависят от угла поворота. Примеры вращения Вращение на угол 90° приводит к изменению…
-
Базис (линейная алгебра) — Википедия
Базис (линейная алгебра) Определение и свойства базиса Базис — это линейно независимое множество векторов, которое образует линейное пространство. Базис может быть конечным или бесконечным, и его размерность равна рангу пространства. Базис Хамеля — это бесконечный базис, состоящий из векторов, которые линейно независимы и образуют линейное пространство. Примеры базисов Примеры конечных базисов включают стандартный базис евклидова…
-
Сублинейная функция — Википедия
Сублинейная функция Определение и свойства сублинейных функций Сублинейная функция — это функция, которая удовлетворяет неравенству треугольника. Сублинейные функции являются полунормированными, то есть они сохраняют неравенство треугольника при умножении на положительное число. Сублинейные функции обладают свойством субдифференцируемости, что означает, что они могут быть дифференцированы в направлении убывания. Примеры и свойства Примеры включают функции расстояния и нормы…
-
Двойное пространство — Википедия
Двойное пространство Определение векторного пространства Векторное пространство — это множество элементов с заданной структурой, позволяющей выполнять операции сложения и умножения на число. Векторное пространство должно быть линейно однородным и иметь нулевую точку. Примеры векторных пространств Примеры включают множество всех действительных чисел, множество всех квадратных матриц и пространство всех функций на отрезке. Линейные операции Сложение векторов…
-
Псевдовектор — Википедия
Псевдовектор Определение псевдовектора Псевдовектор — это вектор, который меняет знак при инверсии его базисных векторов. В трехмерном пространстве псевдовектор является бивектором, который перпендикулярен плоскости, образованной двумя базисными векторами. В четырехмерном пространстве псевдовектор является тривектором, который перпендикулярен трехмерной плоскости. Примеры и свойства Псевдовекторы используются в физике для описания магнитного поля и других физических явлений. В геометрии…
-
Обратимая матрица — Википедия
Обратимая матрица Определение и свойства обратной матрицы Обратная матрица A−1 является матрицей, которая при умножении на A дает I. A−1 является уникальной, если A обратима, и может быть найдена с помощью различных методов. Методы вычисления обратной матрицы Метод Гаусса-Джордана является популярным методом, который требует последовательного исключения элементов. Метод Ньютона может быть полезен для нахождения обратной…
-
Смена основы — Википедия
Изменение основы Определение и свойства билинейной формы Билинейная форма — это отображение, которое связывает два вектора с числом. Билинейная форма является линейной функцией двух векторов. Билинейная форма может быть задана матрицей, которая зависит от базиса. Изменение базиса и его последствия Изменение базиса — это преобразование, которое меняет координаты векторов. Изменение базиса сохраняет билинейную форму, но…
-
Элементарная матрица — Википедия
Элементарная матрица Основные операции с матрицами Матрицы — это математические объекты, используемые для описания линейных преобразований. Матрицы состоят из строк и столбцов, элементы которых могут быть числами или символами. Элементарные операции включают умножение, сложение, транспонирование и другие. Умножение матриц Умножение матриц A и B дает матрицу C, элементы которой являются произведением соответствующих элементов A и…
-
Система линейных уравнений — Википедия
Система линейных уравнений Основные понятия и методы решения линейных уравнений Линейное уравнение — это уравнение с одной или несколькими неизвестными, которые могут быть выражены через другие известные переменные. Система линейных уравнений — это набор уравнений, в которых все неизвестные связаны между собой. Решение системы линейных уравнений — это набор значений неизвестных, который удовлетворяет всем уравнениям…
-
Элементарная матрица — Википедия
Элементарная матрица Основные операции с матрицами Матрицы — это математические объекты, используемые для описания линейных преобразований. Матрицы состоят из строк и столбцов, элементы которых могут быть числами или символами. Элементарные операции включают умножение, сложение, транспонирование и другие. Умножение матриц Умножение матриц A и B дает матрицу C, элементы которой являются произведением соответствующих элементов A и…
-
Векторы-строки и столбцы — Википедия
Векторы строк и столбцов Основы векторной алгебры Вектор-столбец — это матрица с одним столбцом из m элементов. Вектор строки — это матрица с одним рядом из n элементов. Транспонирование вектора-строки дает вектор-столбец, и наоборот. Векторные пространства Множество векторов-строк образует n-мерное векторное пространство. Множество векторов-столбцов образует m-мерное векторное пространство. Двойственность векторных пространств Пространство векторов-строк является двойственным…
-
Функциональное пространство — Википедия
Функциональное пространство Определение и примеры функциональных пространств Функциональное пространство — это множество функций с определенной структурой. Примеры включают множество всех функций от множества X до множества Y, пространство всех непрерывных функций на X и пространство всех функций с компактной поддержкой. Структура и операции Функциональные пространства могут иметь поточечные операции сложения и умножения на скаляр. В…