Метка: теория категорий

Инжекционный когенератор Основы теории категорий Генераторы и когенераторы — объекты, которые приближают другие объекты.  Генератор категории с нулевым объектом — объект G, для которого существует ненулевой морфизм от каждого ненулевого объекта.  Когенератор — объект C, для которого существует ненулевой морфизм от каждого ненулевого объекта в обратном порядке.  Примеры в абелевых группах Целые числа являются генератором…

Изображение (теория категорий) Определение и свойства изображения Изображение морфизма — это морфизм, обратный к исходному морфизму.  В категории с конечными пределами и коллимациями, изображение морфизма — это эквалайзер пары коядер.  В абелевой категории, изображение морфизма является обратным к коядру.  Примеры и теоремы В категории множеств, изображение морфизма — это включение образа в область морфизма.  В…

Конечная категория Определение позитальной категории Позитальная категория — это категория с не более чем одним морфизмом на множество.  Конечная категория — это заранее упорядоченный класс объектов.  Скелетность и позитивность Скелетность категории эквивалентна требованию, что все изоморфизмы являются тождественными морфизмами.  Категория является позитальной, если она удовлетворяет антисимметрии.  Диаграммы и категории Диаграммы относятся к определенной категории.  Коммутативные…

Категория волокнистых материалов Определение и примеры расслоенных категорий Расслоенная категория — это категория, в которой каждый объект имеет слой, а морфизмы отображают слои в слои.  Примеры включают категории расслоений над топологическими пространствами и категории расслоений над группоидами.  Расслоенные категории и функторы Функтор между расслоенными категориями отображает слои в слои, сохраняя структуру морфизмов.  Расслоенные категории могут…

Категория волокнистых материалов Определение и примеры расслоенных категорий Расслоенная категория — это категория, в которой каждый объект имеет слой, а морфизмы отображают слои в слои.  Примеры включают категории расслоений над топологическими пространствами и категории расслоений над группоидами.  Расслоенные категории и функторы Функтор между расслоенными категориями отображает слои в слои, сохраняя структуру морфизмов.  Расслоенные категории могут…

Многокатегорийность Определение и примеры Мультикатегория — это категория, в которой морфизмы могут быть отображены в последовательности.  Примеры включают категории множеств, векторных пространств и моноидальных категорий.  Структура и операции Мультикатегория состоит из множества объектов, морфизмов и специального тождественного морфизма.  Существуют операции композиции морфизмов, удовлетворяющие аксиомам ассоциативности.  Категории сайтов Общая категория — это упорядоченный набор объектов с…

Изображение (теория категорий) Определение и свойства изображения Изображение морфизма — это морфизм, обратный к исходному.  В категории с конечными пределами и коллимациями, изображение — это эквалайзер пары коядер.  В абелевой категории, изображение мономорфизма совпадает с его ядром и коядром.  Факторизация морфизма Факторизация морфизма — это его разложение на мономорфизмы.  Если категория имеет все эквалайзеры, то…

Частное абелевой категории Определение коэффициента Серра Коэффициент Серра — это категория, которая возникает при рассмотрении категории как фактор по подкатегории Серра.  Подкатегория Серра — это подкатегория, которая содержит все конечномерные объекты и все линейные отображения с конечномерным образом.  Примеры и свойства Примеры включают категории векторных пространств над полем и абелевы категории.  Коэффициент Серра ведет себя…

Конструкция Гротендика Определение категории Категория — это множество объектов с набором морфизмов между ними.  Морфизмы — это отображения, которые отображают объекты одной категории в объекты другой.  Примеры категорий Примеры включают категории множеств, функций, топологических пространств и групп.  Категория множеств имеет объекты, представляющие множества, и морфизмы, отображающие множества в множества.  Категория морфизмов Категория морфизмов — это…

Категория волокнистых материалов Определение и примеры расслоенных категорий Расслоенная категория — это категория, в которой каждый объект имеет слой, а морфизмы отображают слои в слои.  Примеры включают категории расслоений над топологическими пространствами и категории расслоений над группоидами.  Расслоенные категории и функторы Функтор между расслоенными категориями отображает слои в слои, сохраняя структуру морфизмов.  Расслоенные категории могут…

Свертка дня Определение дневной свертки Дневная свертка — это операция в теории категорий, которая обобщает свертку функций.  Введена Брайаном Дэем в 1970 году для обогащенных категорий функторов.  Действует как тензорное произведение для моноидальных структур категорий над моноидальной категорией.  Определение дневной свертки Используется моноидальная категория  (  C  ,  ⊗  c  )  {\displaystyle (\mathbf {C} ,\otimes _{c})} …

Категория волокнистых материалов Определение и примеры расслоенных категорий Расслоенная категория — это категория, в которой каждый объект имеет слой, а морфизмы отображают слои в слои.  Примеры включают категории расслоений над топологическими пространствами и категории расслоений над группоидами.  Расслоенные категории и функторы Функтор между расслоенными категориями отображает слои в слои, сохраняя структуру морфизмов.  Расслоенные категории могут…

Доступная категория Основы теории доступных категорий Теория доступных категорий — это раздел математики, описывающий категории через количество операций, необходимых для создания объектов.  Теория берет начало в работах Гротендика и других математиков, получила развитие в 1980-х годах и имеет стандартный учебник с 1994 года.  Применение в теории гомотопий Теория доступных категорий используется в теории гомотопий, особенно…

Алгебра категорий Определение алгебры категорий Алгебра категорий — это ассоциативная алгебра, определенная для локально конечной категории и коммутативного кольца с единицей.  Обобщает понятия групповых алгебр и алгебр инцидентности.  Определение в стиле групповой алгебры Для группы G и кольца R строится групповая алгебра RG как R-модуль с умножением.  Категория C с морфизмами C определяет алгебру RC…

Избыточная категория Определение и свойства сверхкатегорий Сверхкатегория — это выделенный класс категорий, используемый в теории категорий.  Они служат для отслеживания данных вокруг фиксированного объекта в категории.  Существует двойственное понятие подкатегории, определяемое аналогично.  Примеры и обобщения Категория открытых подмножеств топологического пространства является примером сверхкатегории.  Категория коммутативных алгебр и категория аффинных схем являются подкатегориями в теории категорий. …

Конечная категория Определение позитальной категории Позитальная категория — это категория с не более чем одним морфизмом в наборе значений.  Конечная категория — это заранее упорядоченный класс объектов.  Скелетность и позитивность Скелетность категории подразумевает, что единственными изоморфизмами являются морфизмы идентичности.  Позитивность категории эквивалентна антисимметрии и соответствует теории, удовлетворяющей аксиоме x = y для всех типов.  Диаграммы…

Условие согласованности Определение когерентности в теории категорий Когерентность — это условие, при котором композиции элементарных морфизмов равны.  Элементарные морфизмы — это основные данные категории.  Теорема когерентности утверждает, что для проверки когерентности достаточно проверить небольшое число равенств.  Пример моноидальной категории Моноидальная категория включает ассоциатор, который связывает тройки объектов.  Композиции ассоциатора должны быть равны для всех объектов. …

Многокатегорийность Определение и примеры Мультикатегория — это категория, в которой морфизмы могут быть отображены в последовательности.  Примеры включают категории множеств, векторных пространств и моноидальных категорий.  Структура и операции Мультикатегория состоит из множества объектов, морфизмов и специального тождественного морфизма.  Существуют операции композиции морфизмов, удовлетворяющие аксиомам ассоциативности.  Категории сайтов Общая категория — это упорядоченный набор объектов с…

Многокатегорийность Определение и примеры Мультикатегория — это категория, в которой морфизмы могут быть отображены в последовательности.  Примеры включают категории множеств, векторных пространств и моноидальных категорий.  Структура и операции Мультикатегория состоит из множества объектов, морфизмов и специального тождественного морфизма.  Существуют операции композиции морфизмов, удовлетворяющие аксиомам ассоциативности.  Категории сайтов Общая категория — это упорядоченный набор объектов с…

Условие согласованности Определение когерентности в теории категорий Когерентность — это условие, при котором композиции элементарных морфизмов равны.  Элементарные морфизмы — это основные данные категории.  Теорема когерентности утверждает, что для проверки когерентности достаточно проверить небольшое число равенств.  Пример моноидальной категории Моноидальная категория включает ассоциатор, который связывает тройки объектов.  Композиции ассоциатора должны быть равны для всех объектов. …