Метка: Theory of continuous functions
-
Максимальная теорема — Википедия
Теорема о максимуме Определение и свойства функций и соответствий Функция f : X → R {\displaystyle f:X\to \mathbb {R}} является непрерывной, если она непрерывна в каждой точке x ∈ {\displaystyle x\in X} . Соответствие C Θ {\displaystyle C:\Theta \to X} является непрерывным, если для каждого θ {\displaystyle \theta \in \Theta } существует окрестность U {\displaystyle…
-
Абсолютная непрерывность — Википедия
Абсолютная непрерывность Определение абсолютной непрерывности Мера μ называется абсолютно непрерывной относительно меры ν, если для любого множества A, ν(A) = 0, μ(A) = 0. Мера μ называется эквивалентной ν, если μ(A) = ν(A) для всех A. Примеры и теоремы Примеры абсолютно непрерывных мер: мера Лебега, мера Лебега-Стилтьеса. Теорема Радона-Никодима утверждает, что если μ абсолютно непрерывна…
-
Непрерывная функция — Википедия
Непрерывная функция Определение непрерывности функции Функция f:D→R называется непрерывной в точке x0, если для любого ε>0 существует δ>0 такое, что |f(x)−f(x0)|<ε для всех x∈D с |x−x0|<δ. Определение Вейерштрасса требует, чтобы интервал (x0−δ,x0+δ) полностью находился в пределах D, но Иордания его ослабила. Определение с точки зрения контроля над остатком: функция f является C-непрерывной при x0, если…
-
Гомотопия — Википедия
Гомотопия Определение гомотопии Гомотопия — это непрерывное отображение, которое непрерывно деформирует одну кривую в другую. Гомотопическая эквивалентность — это отношение между двумя непрерывными отображениями, которые могут быть непрерывно деформированы друг в друга. Примеры гомотопии Отображение окружности в прямую линию является примером гомотопии. Отображение отрезка в прямую линию является примером гомотопии, которая не является постоянной функцией. …
-
Теорема Борсука–Улама — Википедия
Борсука–Теорема Улама Основные факты о теореме Борсука-Улама Теорема утверждает, что любое компактное множество в евклидовом пространстве можно разбить на конечное число непересекающихся подмножеств, каждое из которых гомеоморфно сфере. Доказательство теоремы основано на лемме Такера, которая утверждает, что для любой непрерывной функции на компактном множестве существует точка, в которой функция принимает максимальное значение. Эквивалентность теоремы Борсука-Улама…
-
Теорема Брауэра о неподвижной точке — Википедия
Теорема Брауэра о неподвижной точке Теорема Брауэра о неподвижной точке Теорема утверждает, что непрерывное отображение из замкнутого шара в себя имеет неподвижную точку. Она была доказана Брауэром в 1911 году и стала ключевой в топологии. Исторический контекст Пуанкаре сформулировал проблему, но не смог ее решить. Адамар и Пуанкаре внесли значительный вклад в развитие теории. Брауэр…
-
Спектральная последовательность Лере — Википедия
Спектральная последовательность Лерея Определение и свойства спектральной последовательности Лере Спектральная последовательность Лере связывает гомологии пучков с когомологиями пучков. Она является обобщением спектральной последовательности Серра и используется для изучения деформаций многообразий. История и развитие Спектральная последовательность была впервые предложена Лере в 1940-х годах. После работы Лере, она была переформулирована в современной форме, но не стала общей…
-
Прямой образ с компактной поддержкой — Википедия
Прямое изображение с компактной опорой Определение прямого изображения с компактной поддержкой Прямое изображение с компактной поддержкой — это функтор, расширяющий глобальные сечения пучков до относительной настройки. Это одна из шести операций Гротендика. Определение и функториальность Прямое изображение с компактной поддержкой определяется как функтор, отправляющий пучок F по X в пучок f!(F). Функториальность конструкции следует из…
-
Гомотопия — Википедия
Гомотопия Определение гомотопии Гомотопия — это непрерывное отображение, которое непрерывно деформирует одну кривую в другую. Гомотопическая эквивалентность — это отношение между двумя непрерывными отображениями, которые могут быть непрерывно деформированы друг в друга. Примеры гомотопии Отображение окружности в прямую линию является примером гомотопии. Отображение отрезка в прямую линию является примером гомотопии, которая не является постоянной функцией. …
-
Гомотопия — Википедия
Гомотопия Определение гомотопии Гомотопия — это непрерывное отображение, которое непрерывно деформирует одну кривую в другую. Гомотопическая эквивалентность — это отношение между двумя непрерывными отображениями, которые могут быть непрерывно деформированы друг в друга. Примеры гомотопии Отображение окружности в прямую линию является примером гомотопии. Отображение отрезка в прямую линию является примером гомотопии, которая не является постоянной функцией. …
-
Присоединение Квиллена — Википедия
Примыкание Квиллена Определение и свойства соединений Квиллена Соединение Квиллена связывает две замкнутые модельные категории C и D, индуцируя соединение между их гомотопическими категориями. Соединение состоит из сопряженных функторов F и G, сохраняющих кофибрации и расслоения соответственно. Левый функтор Квиллена F сохраняет слабые эквивалентности кофибрантных объектов, а правый функтор G — слабые эквивалентности фибрантных объектов. Теорема…
-
Функтор прямого изображения — Википедия
Функтор прямого изображения Определение функтора прямого изображения Функтор прямого изображения обобщает функтор глобальных сечений на относительный случай. Используется в топологии и алгебраической геометрии для определения пучка на втором пространстве через пучок на первом. Примеры и варианты Приводится пример функтора прямого изображения для отображения из точки в пространство. Обсуждаются варианты функтора для связок множеств, кольцевых пространств…
-
Гомотопия — Википедия
Гомотопия Определение гомотопии Гомотопия — это непрерывное отображение, которое непрерывно деформирует одну кривую в другую. Гомотопическая эквивалентность — это отношение между двумя непрерывными отображениями, которые могут быть непрерывно деформированы друг в друга. Примеры гомотопии Отображение окружности в прямую линию является примером гомотопии. Отображение отрезка в прямую линию является примером гомотопии, которая не является постоянной функцией. …
-
Теорема Лефшеца о неподвижной точке — Википедия
Теорема Лефшеца о неподвижной точке Определение и свойства числа Лефшеца Число Лефшеца — это число, которое описывает количество неподвижных точек отображения. Отображение, имеющее хотя бы одну неподвижную точку, гомотопически эквивалентно отображению с фиксированной точкой. Число Лефшеца может быть вычислено через сумму матричных следов линейных отображений, связанных с отображением. Теорема Лефшеца и её следствия Теорема Лефшеца…
-
Теорема Брауэра о неподвижной точке — Википедия
Теорема Брауэра о неподвижной точке Основные достижения Брауэра Брауэр доказал теорему о неподвижной точке для непрерывных отображений, которая стала ключевой в топологии. Его подход к топологии был революционным, используя новые инструменты, такие как гомотопия. Брауэр обобщил теорему на произвольную размерность и другие топологические результаты. Роль в развитии топологии Брауэр внес значительный вклад в развитие топологии,…
-
Гомеоморфизм — Википедия
Гомеоморфизм Гомеоморфизм — биективная и непрерывная функция между топологическими пространствами с непрерывной обратной функцией. Гомеоморфизмы сохраняют все топологические свойства пространства. Два пространства с гомеоморфизмом между ними называются гомеоморфными и топологически одинаковы. Гомотопия и изотопия — точные определения непрерывной деформации. Гомеоморфизм — изоморфизм в категории топологических пространств. Самогомеоморфизм — гомеоморфизм из топологического пространства в себя. Гомеоморфизмы…
-
Непрерывная функция — Википедия
Непрерывная функция Непрерывная функция — это функция, значение которой изменяется незначительно при изменении аргумента. Прерывистая функция — это функция, которая не является непрерывной. До 19 века математики использовали интуитивные представления о непрерывности. Эпсилон-дельта-определение предела было введено для формализации определения непрерывности. Непрерывность — одно из основных понятий математического анализа. Непрерывность реальных функций обычно определяется в терминах…
-
Гомотопия — Википедия
Гомотопия Гомотопия — непрерывная деформация одной функции в другую. Гомотопические группы и когомотопические группы — важные инварианты в алгебраической топологии. Формальное определение гомотопии: непрерывная функция H: X × [0, 1] → Y, такая, что H(x, 0) = f(x) и H(x, 1) = g(x) для всех x ∈ X. Гомотопичность — отношение эквивалентности на множестве непрерывных…
-
Непрерывный линейный оператор — Википедия
Непрерывный линейный оператор Непрерывность линейного оператора между топологическими векторными пространствами (TVS) важна для многих приложений. Непрерывность линейного оператора подразумевает его ограниченность в окрестности. Локально ограниченное TVS является важным свойством для непрерывности линейных операторов. Линейное отображение из локально ограниченного TVS в любой другой TVS является непрерывным, если оно ограничено окрестностью. Непрерывные линейные функционалы обладают дополнительными характеристиками,…
-
Факторпространство (топология) — Википедия
Фактор-пространство (топология) Факторная топология индуцируется частным отображением. Наследственно-факторные карты являются сюръективными картами с дополнительным свойством. Существуют частные карты, которые не являются наследственными частными. Примеры наследственно-факторных карт включают склеивание точек и пространство примыкания. В целом неверно, что каждая сходящаяся последовательность в Y является лифтом к сходящейся последовательности в X. Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите…