Аддитивно неразложимый порядковый номер

• Определение аддитивно неразложимых порядковых чисел

  • Аддитивно неразложимое число α — это порядковое число, отличное от 0, для которого α + β < α для всех β < α. 
  • Кантор назвал аддитивно неразложимые числа гамма-числами и обозначил их класс как H. 
  • Аддитивно неразложимые числа включают ωβ для всех порядковых номеров β. 

• Свойства аддитивно неразложимых чисел

  • Если β < α и α аддитивно неразложимо, то β + α = α. 
  • 1 является аддитивно неразложимым, так как 0 + 0 < 1. 
  • Нет конечного порядкового номера, отличного от 1, который был бы аддитивно неразложимым. 
  • ω также аддитивно неразложима, так как сумма двух конечных ординалов всегда конечна. 
  • Каждый бесконечный начальный порядковый номер аддитивно неразложим. 

• Замкнутость и неограниченность класса аддитивно неразложимых чисел

  • Класс аддитивно неразложимых чисел замкнут и неограничен. 
  • Перечисляющая функция аддитивно неразложимых чисел — это ωα. 
  • Производная от ωα называется эпсилон-числом и обозначается εα. 

• Мультипликативно неразложимые числа

  • По аналогии с аддитивными числами, мультипликативно неразложимые числа также существуют. 
  • Порядковый номер 2 является мультипликативно неразложимым. 
  • Мультипликативно неразложимыми являются ординалы вида ωωα для всех порядковых номеров α. 
  • Каждое эпсилон-число и каждый мультипликативно неразложимый порядковый номер, отличный от 2, также являются аддитивно неразложимыми. 

• Высшие неразложимые числа

  • Существуют экспоненциально неразложимые ординалы, тетрационально неразложимые ординалы и другие. 
  • φω(0) является первым порядковым номером, который является ↑n-неразложимым для всех n. 

• Рекомендации

  • Статья основана на материалах с сайта PlanetMath, распространяемых по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike.