Аксиомы Гильберта
-
Аксиомы Гильберта
- Набор из 20 предположений, предложенных Дэвидом Гильбертом в 1899 году.
- Основаны на шести примитивных понятиях: точка, линия, плоскость, и трех примитивных отношениях: промежуточность, лежит на, конгруэнтность.
-
Основные аксиомы
- Случай: для каждых двух точек существует прямая, содержащая их обе.
- Заказ: если точка между двумя другими, то она также между ними.
- Соответствие: каждый отрезок конгруэнтен сам себе.
- Параллели: на плоскости есть не более одной прямой, проходящей через точку и не пересекающей другую прямую.
- Непрерывность: существует число n, такое что n отрезков, построенных последовательно, пройдут за точку.
-
Отвергнутая аксиома
- Аксиома Паша: если прямая проходит через точку отрезка, то она также проходит через другую точку отрезка.
- Доказана избыточность аксиомы Паша в 1902 году.
-
Издания и переводы
- Оригинальная монография написана Гильбертом в 1899 году.
- Английский перевод сделан Э. Дж. Таунсендом в 1902 году.
- 2-е издание на английском языке переведено Лео Унгером в 1971 году.
-
Влияние и значение
- Аксиомы Гильберта аксиоматизируют евклидову геометрию твердого тела.
- Удаление пяти аксиом приводит к аксиоматизации евклидовой плоской геометрии.
- Аксиомы не являются теорией первого порядка.
- Ценность «Грундлагена» заключается в новаторском подходе к метаматематическим вопросам.
- Математика в двадцатом веке превратилась в сеть аксиоматических формальных систем под влиянием Гильберта.
-
Формализация теории Гильберта в Isabelle / Isar
- Флерио (2003) формализует теорию Гильберта в Isabelle / Isar.
- Доказательство теоремы в логике высшего порядка.
- Конспекты лекций по информатике, том 2758/2003, 319-334.
- doi:10.1007/10930755_21
-
Внешние ссылки
- «Аксиомы Гильберта» на математическом факультете UMBC.
- «Аксиомы Гильберта» в Mathworld.
- Аудиокнига «Основы геометрии» в открытом доступе в LibriVox.