Оглавление
- 1 Ансамбль (математическая физика)
- 1.1 Термодинамический ансамбль
- 1.2 Основные типы ансамблей
- 1.3 Эквивалентность и представления
- 1.4 Требования к представительствам
- 1.5 Квантово-механический ансамбль
- 1.6 Классическая механическая система
- 1.7 Распределение вероятностей в расширенном фазовом пространстве
- 1.8 Математическое ожидание и фазовое пространство
- 1.9 Исправление перерасчета в фазовом пространстве
- 1.10 Ансамбли в статистике
- 1.11 Среднее значение по ансамблю
- 1.12 Оперативный перевод
- 1.13 Процедура тестирования E
- 1.14 Среднее значение по времени
- 1.15 Квантово-логический подход
- 1.16 Определение квантовых состояний
- 1.17 Дополнительные понятия
- 1.18 Полный текст статьи:
- 2 Ансамбль (математическая физика)
Ансамбль (математическая физика)
-
Термодинамический ансамбль
- Ансамбль — это идеализация, состоящая из множества виртуальных копий системы.
- Ансамбль используется для описания термодинамических систем.
- Термодинамический ансамбль находится в статистическом равновесии.
-
Основные типы ансамблей
- Микроканонический ансамбль: фиксированная энергия и число частиц.
- Канонический ансамбль: фиксированное число частиц и температура.
- Большой канонический ансамбль: фиксированная температура и химический потенциал.
-
Эквивалентность и представления
- В термодинамическом пределе ансамбли дают одинаковые наблюдаемые величины.
- В квантовой механике ансамбль представлен матрицей плотности.
- В классической механике ансамбль представлен функцией плотности вероятности в фазовом пространстве.
-
Требования к представительствам
- Возможность проверки статистической эквивалентности ансамблей.
- Возможность создания нового ансамбля путем вероятностной выборки.
-
Квантово-механический ансамбль
- Матрица плотности ρ^ описывает ансамбль.
- Математическое ожидание оператора X^ для ансамбля ρ^ задается трассировкой.
- Равновесные ансамбли зависят от сохраняемых переменных.
-
Классическая механическая система
- Ансамбль представлен функцией плотности вероятности в фазовом пространстве.
- Функция плотности эволюционирует с течением времени по уравнению Лиувилля.
-
Распределение вероятностей в расширенном фазовом пространстве
- Количество частиц в системе может варьироваться, что приводит к распределению вероятностей по расширенному фазовому пространству.
- Совместная функция плотности вероятности ρ(N1, …, Ns, p1, …, pn, q1, …, qn) описывает совокупность.
- Число координат n зависит от количества частиц.
-
Математическое ожидание и фазовое пространство
- Математическое ожидание величины X задается интегралом по фазовому пространству, взвешенным на ρ.
- Фазовое пространство содержит бесконечное число физических состояний.
- Микросостояние в классической механике — это протяженная область в фазовом пространстве канонических координат.
-
Исправление перерасчета в фазовом пространстве
- Фазовое пространство содержит дубликаты физических состояний.
- Важно не переоценивать реальные физические состояния при интегрировании по фазовому пространству.
- Коэффициент C используется для устранения перерасчета.
-
Ансамбли в статистике
- Статистические ансамбли используются в различных областях, таких как лингвистика и робототехника.
- Принцип максимальной энтропии применяется к задачам, где важно учитывать локальность взаимодействий.
-
Среднее значение по ансамблю
- Среднее значение по ансамблю зависит от выбранного ансамбля.
- В классической статистической механике среднее значение определяется интегралом по фазовому пространству.
- В квантовой статистической механике среднее значение определяется суммой по квантовым энергетическим состояниям.
-
Оперативный перевод
- Ансамбль — это бесконечная последовательность систем, созданных одним и тем же способом.
- В лабораторных условиях каждая система может быть использована для тестирования.
-
Процедура тестирования E
- Применяется к каждой подготовленной системе
- Дает последовательность значений Meas (E, X1), Meas (E, X2), …, Meas (E, Xk)
- Значения равны 0 (нет) или 1 (да)
-
Среднее значение по времени
- Предполагается существование среднего значения по времени
-
Квантово-логический подход
- Важное предположение: вопросы “да” и “нет” для решетки замкнутых подпространств гильбертова пространства
- Состояния задаются операторами плотности
-
Определение квантовых состояний
- Квантовое состояние – отображение наблюдаемых величин в их ожидаемые значения
-
Дополнительные понятия
- Матрица плотности
- Ансамбль (механика жидкости и газа)
- Фазовое пространство
- Теорема Лиувилля (гамильтониан)
- Статистика Максвелла–Больцмана
- Репликация (статистика)
- Записи
- Рекомендации
- Внешние ссылки
- Апплет Монте-Карло для задач статистической физики