Ассоциаэдр
-
Определение и свойства ассоциаэдра
- Ассоциаэдр — это (n-2)-мерный выпуклый многогранник с вершинами, соответствующими правильным вставкам скобок, и ребрами, соответствующими ассоциативности.
- Ассоциаэдры также известны как многогранники Сташеффа и связаны с триангуляциями правильных многоугольников и диаграммами моноидальных категорий.
-
Примеры и реализация
- Одномерный ассоциаэдр K3 представлен двумя скобками и является отрезком прямой.
- Двумерный ассоциаэдр K4 состоит из пяти триангуляций пятиугольника и связан с диаграммой моноидальной категории.
- Трехмерный ассоциаэдр K5 имеет 9 граней и 14 вершин и связан с трехгранной треугольной призмой.
-
Реализация и координаты
- Джим Сташефф изначально рассматривал ассоциаэдры как криволинейные многогранники, но впоследствии они были реализованы в виде выпуклых многогранников.
- Одна из реализаций использует триангуляции правильного многоугольника для присвоения координат в евклидовом пространстве.
- Жан-Луи Лодэ разработал другую реализацию, основанную на бинарных деревьях.
- Существуют различные способы реализации ассоциаэдра в (n-2)-мерном пространстве, включая использование векторов нормалей с координатами 0, +1 или -1.
-
Химическая структура и геометрия
- Возможно существование углеводорода, структура которого соответствует скелету K5.
- K5 является почти miss Johnson solid, но не может быть сделан из квадратов и правильных пятиугольников без искажений.
-
Числовые характеристики
- Число граней ассоциаэдра Kn+1 определяется числовым треугольником и каталонскими числами.
- Число граней всех измерений равно числу Шредера-Гиппарха.
-
Диаметр и амплитуды рассеяния
- В 1980-х годах было доказано, что диаметр ассоциаэдра не превышает 2n-4 для достаточно больших n.
- В 2017 году ассоциаэдр был использован для объяснения амплитуд рассеяния в теории струн.
-
Дополнительные сведения
- Существуют другие обобщения ассоциаэдра, такие как циклогэдр, перевернутый график и пермутоэдр.
- Решетка Тамари является решеткой, связанной с ассоциаэдром.
-
Рекомендации
- Ссылки на лекции и заметки по ассоциаэдрам доступны для дополнительного изучения.
Полный текст статьи: