Оглавление
AW*-алгебра
-
Определение AW*-алгебры
- AW*-алгебра — алгебраическое обобщение W*-алгебры, предложенное Ирвингом Каплански в 1951 году.
- AW*-алгебра — это C*-алгебра, которая является кольцом Бэра.
- Проекция C*-алгебры — это самосопряженный идемпотентный элемент.
- AW*-алгебра A является AW*-алгеброй, если для каждого подмножества S из A левый аннигилятор генерируется как левый идеал некоторой проекцией p на A, и аналогично правый аннигилятор генерируется как правый идеал некоторой проекцией q.
-
Структурная теория
- Многие результаты, касающиеся алгебр фон Неймана, переносятся на AW*-алгебры.
- AW*-алгебры можно классифицировать по поведению их проекций и разложить на типы.
- Нормальные матрицы с элементами в AW*-алгебре всегда могут быть диагонализированы.
- AW*-алгебры всегда имеют полярное разложение.
-
Отличия от алгебр фон Неймана
- AW*-алгебры типа I могут проявлять патологические свойства.
- Капланский показал, что AW*-алгебры с тривиальным центром автоматически являются алгебрами фон Неймана.
-
Коммутативный случай
- Коммутативная C*-алгебра является AW*-алгеброй тогда и только тогда, когда ее спектр является стоуновским пространством.
- Проекции коммутативной AW*-алгебры образуют полную булеву алгебру.
- Любая полная булева алгебра изоморфна проекциям некоторой коммутативной AW*-алгебры.