Базис (линейная алгебра)

• Определение и свойства базиса

  • Базис — это линейно независимое множество векторов, которое образует линейное пространство. 
  • Базис может быть конечным или бесконечным, и его размерность равна рангу пространства. 
  • Базис Хамеля — это бесконечный базис, состоящий из векторов, которые линейно независимы и образуют линейное пространство. 

• Примеры базисов

  • Примеры конечных базисов включают стандартный базис евклидова пространства и базис из векторов, образующих угол 120 градусов. 
  • Примеры бесконечных базисов включают последовательности, ортогональные векторы и базисы, состоящие из функций, интегрируемых в квадрат. 

• Изменение базиса

  • Формула изменения базиса позволяет преобразовать координаты вектора в новом базисе из координат в старом базисе. 
  • Базис Хамеля является результатом уникальности разложения вектора по базису. 

• Связанные понятия

  • Модули имеют аналогичную структуру, но не каждый модуль имеет базис. 
  • Свободные модули играют фундаментальную роль в теории модулей и могут быть использованы для описания несвободных модулей. 

• Анализ

  • В бесконечномерных пространствах существуют альтернативы базису Хамеля, такие как ортогональные базисы и базисы Шаудера. 
  • В случае вещественных чисел базис Хамеля имеет мощность континуума. 
  • В банаховых пространствах базис Хамеля может быть неисчислимым из-за теоремы о категории Бэра. 

• Пример

  • Функции {1} ∈ { sin(nx), cos(nx) : n = 1, 2, 3, … 
  • } являются базисом для пространства функций, интегрируемых в квадрат на интервале [0, 2π]. 
  • Однако не все квадратично интегрируемые функции могут быть представлены в виде конечных линейных комбинаций базисных функций. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.