Бесплатный продукт

• Определение и свойства свободного произведения

  • Свободное произведение двух групп G и H создает новую группу G∗H, содержащую элементы G и H. 
  • Свободное произведение является «универсальной» группой, поскольку гомоморфизмы из G и H однозначно определяются через гомоморфизм в G∗H. 
  • Если хотя бы одна из групп не тривиальна, свободное произведение бесконечно. 

• Роль в теории групп

  • Свободное произведение играет аналогичную роль в теории групп, как непересекающееся объединение в теории множеств или прямая сумма в теории модулей. 
  • Свободное произведение не является копроизведением в категории абелевых групп, даже если группы коммутативны. 

• Применение в алгебраической топологии

  • Теорема ван Кампена утверждает, что фундаментальная группа объединения двух связанных пространств является объединенным свободным произведением их фундаментальных групп. 
  • Свободные произведения важны в теории Басса-Серра, где они используются для построения групп, действующих на деревьях. 

• Примеры и построение

  • Примеры включают циклические группы и модульную группу PSL2(Z). 
  • Свободное произведение строится путем сокращения слов в G и H с помощью операций удаления и замены пар. 

• Презентация и обобщение

  • Представление для G и H генерируется образующими и отношениями, а для свободного произведения — образующими для G и H вместе с отношениями из G и H. 
  • Обобщение свободного произведения с объединением включает добавление отношений для элементов из произвольной группы F. 

• Другие применения

  • Свободные произведения используются в теории вероятностей для определения «свободы» и в других алгебраических структурах, таких как алгебры над полем.