Бициклическая полугруппа

• Определение и история бициклической полугруппы

  • Бициклическая полугруппа — важный объект в структурной теории полугрупп, хотя обычно называется просто полугруппой. 
  • Евгений Ляпин описал бициклическую полугруппу в 1953 году, а Альфред Х. Клиффорд и Гордон Престон независимо обнаружили её до 1943 года. 

• Построение бициклической полугруппы

  • Существует три стандартных способа построения бициклической полугруппы, обозначаемые P, C и B. 
  • Бициклическая полугруппа может быть определена как частное от свободного моноида на p и q по конгруэнтности pq = 1. 
  • Другой способ построения — из упорядоченных пар, где элементы ограничены показателями a и b. 
  • Третий способ — из функций, где α, β и i генерируют моноид преобразований натуральных чисел. 

• Свойства бициклической полугруппы

  • Бициклическая полугруппа обладает свойством, что образ гомоморфизма в другую полугруппу либо цикличен, либо изоморфен B. 
  • Идемпотенты B — это все пары (x, x), где x — натуральное число, и B является обратной полугруппой. 
  • Каждый идеал из B является основным, и у B нет минимальных левых или правых идеалов. 
  • Бициклическая полугруппа имеет только один D-класс и один J-класс, а также соотношения L и R, которые связывают элементы только при их идентичности. 

• Диаграмма «ящик для яиц» и другие аспекты

  • Диаграмма «ящик для яиц» для B бесконечна и показывает все H-классы, R-классы и L-классы. 
  • Бициклическая полугруппа является простейшим примером двухпростой обратной полугруппы. 
  • Вместо класса натуральных чисел в определении B мог использоваться другой набор с соответствующими свойствами. 

• Рекомендации и литература

  • Статья основана на работах А. Х. Клиффорда и Дж. Б. Престона, а также Пьера Антуана Грийе и Евгения Сергеевича Ляпина.