Оглавление
Бициклическая полугруппа
-
Определение и история бициклической полугруппы
- Бициклическая полугруппа – важный объект в структурной теории полугрупп, хотя обычно называется просто полугруппой.
- Евгений Ляпин описал бициклическую полугруппу в 1953 году, а Альфред Х. Клиффорд и Гордон Престон независимо обнаружили её до 1943 года.
-
Построение бициклической полугруппы
- Существует три стандартных способа построения бициклической полугруппы, обозначаемые P, C и B.
- Бициклическая полугруппа может быть определена как частное от свободного моноида на p и q по конгруэнтности pq = 1.
- Другой способ построения – из упорядоченных пар, где элементы ограничены показателями a и b.
- Третий способ – из функций, где α, β и i генерируют моноид преобразований натуральных чисел.
-
Свойства бициклической полугруппы
- Бициклическая полугруппа обладает свойством, что образ гомоморфизма в другую полугруппу либо цикличен, либо изоморфен B.
- Идемпотенты B – это все пары (x, x), где x – натуральное число, и B является обратной полугруппой.
- Каждый идеал из B является основным, и у B нет минимальных левых или правых идеалов.
- Бициклическая полугруппа имеет только один D-класс и один J-класс, а также соотношения L и R, которые связывают элементы только при их идентичности.
-
Диаграмма “ящик для яиц” и другие аспекты
- Диаграмма “ящик для яиц” для B бесконечна и показывает все H-классы, R-классы и L-классы.
- Бициклическая полугруппа является простейшим примером двухпростой обратной полугруппы.
- Вместо класса натуральных чисел в определении B мог использоваться другой набор с соответствующими свойствами.
-
Рекомендации и литература
- Статья основана на работах А. Х. Клиффорда и Дж. Б. Престона, а также Пьера Антуана Грийе и Евгения Сергеевича Ляпина.
Полный текст статьи: