Quater-imaginary base
-
История и особенности
- Quater-imaginary numeral system предложена Дональдом Кнутом в 1960 году.
- Использует мнимое число 2i как основание.
- Позволяет представлять комплексные числа с помощью цифр 0, 1, 2, 3.
-
Разложение на составляющие
- В позиционной системе с основанием b, d3d2d1d0.d-1d-2d-3… представляет сумму d3b3 + d2b2 + d1b + d0 + d-1b-1 + d-2b-2 + d-3b-3.
- В quater-imaginary b = 2i, что упрощает разложение на две части: d4b2d0.d-2… и 2i(d5d3d1.d-1d-3…).
-
Конвертация из quater-imaginary
- Для конвертации в десятичную систему используется стандартная формула для позиционных систем.
- Для quater-imaginary b = 2i.
- Пример: 11012i = 1.101.
-
Конвертация в quater-imaginary
- Каждое комплексное число имеет quater-imaginary представление.
- Для конвертации разбиваем число на реальную и мнимую части, конвертируем каждую отдельно и добавляем результаты.
- Пример: −1+4i = 1232i.
-
Дополнительные методы
- Для реальных чисел quater-imaginary представление аналогично отрицательной четверной системе.
- Для комплексных чисел x+iy можно использовать алгоритм с повторным евклидовым делением.
-
Использование радикса
- Радикс точка в quater-imaginary системе разделяет не-отрицательные и отрицательные степени b.
- Пример: i = 1.0002i.
-
Арифметика
- В quater-imaginary арифметике «carry» вычитает из следующего столбца, а «borrow» добавляет.
- Пример: добавление 11012i и 10300032i дает 1232i.
-
Сложение в четверной системе
- Сложение выполняется по тем же правилам, что и в двоичной системе.
- Сначала складываются цифры в столбцах, начиная с правого.
- Если результат больше 3, вычитается 4 и переносится в следующий столбец.
- Если результат меньше 3, добавляется 4 и переносится в следующий столбец.
-
Пример сложения
- Сложение 3 и 1 дает 4, что больше 3, поэтому вычитается 4 и переносится в третий столбец.
- Сложение 2 и 0 дает 2, что меньше 3, поэтому добавляется 4 и переносится в пятый столбец.
- Сложение 1 и 1 дает 2, а перенос в пятый столбец дает 1, что дает результат 12320.
-
Вычитание в четверной системе
- Вычитание аналогично сложению и использует те же правила.
- Пример: вычитание 1011 из 1102 дает 1131.
-
Умножение в четверной системе
- Умножение выполняется по тем же правилам, что и сложение.
- Пример: (9-8i) ⋅ (29+4i) = 293-196i.
-
Таблицы и примеры
- Приведены таблицы для преобразования десятичных и комплексных чисел в четверные.
- Приведены примеры конверсий из десятичных чисел в четверные.
-
Z-order curve
- Представление комплексных чисел в четверной системе дает инъективное отображение.
- Изображение φ(C) ⊂ R является множеством Кантора, что позволяет линейно упорядочить C аналогично Z-order кривой.
- Из-за несвязности изображения φ не является непрерывным.