Дифференциальное уравнение
-
Определение дифференциальных уравнений
- Дифференциальные уравнения связывают неизвестные функции и их производные.
- Функции представляют физические величины, производные — скорости их изменения.
- Уравнения играют важную роль в инженерии, физике, экономике и биологии.
-
История дифференциальных уравнений
- Изобретены Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем.
- Якоб Бернулли предложил дифференциальное уравнение Бернулли в 1695 году.
- Жан Ле Рон д’Аламбер, Леонард Эйлер, Даниэль Бернулли и Жозеф-Луи Лагранж изучали вибрирующие струны.
- Уравнение Эйлера–Лагранжа разработано в 1750-х годах.
- Фурье опубликовал уравнение теплопроводности в 1822 году.
-
Типы дифференциальных уравнений
- Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) содержат одну независимую переменную.
- Линейные ОДУ хорошо разработаны и часто решаются численно.
- Дифференциальные уравнения в частных производных (PDE) содержат многомерные функции и их частные производные.
- Стохастические PDE обобщают PDE для моделирования случайности.
- Нелинейные ОДУ сложны для точного решения, но могут моделировать хаос.
-
Порядок и степень уравнения
- Порядок дифференциального уравнения — высший порядок производной от неизвестной функции.
- Степень уравнения — количество независимых переменных.
-
Определение и классификация дифференциальных уравнений
- Дифференциальные уравнения содержат производные первого и второго порядка.
- Линейные уравнения имеют степень один для обоих значений, нелинейные — первую степень для первого значения.
- Дифференциальные уравнения описывают природные явления, но есть исключения, такие как уравнение тонкой пленки.
-
Примеры дифференциальных уравнений
- Гетерогенное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка.
- Однородное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.
- Однородное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянным коэффициентом.
- Неоднородное нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка.
- Нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее движение маятника.
-
Дифференциальные уравнения в частных производных
- Однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка.
- Однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка эллиптического типа.
- Однородное нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных третьего порядка.
-
Существование решений дифференциальных уравнений
- Решение дифференциальных уравнений отличается от алгебраических.
- Теорема существования Пеано дает условия существования решения для задач с начальными значениями первого порядка.
- Для линейных задач с начальным значением n-го порядка решение существует и уникально.
-
Связанные понятия и приложения
- Дифференциальное уравнение с задержкой.
- Интегральные уравнения.
- Интегро-дифференциальное уравнение.
- Стохастическое дифференциальное уравнение.
- Стохастическое дифференциальное уравнение в частных производных.
- Ультраметрическое псевдодифференциальное уравнение.
- Дифференциально-алгебраическое уравнение.
- Связь с разностными уравнениями.
- Приложения в математике, физике, инженерном деле и биологии.
-
Программное обеспечение и рекомендации
- Программы CAS могут решать дифференциальные уравнения.
- Дальнейшее чтение и внешние ссылки для углубленного изучения.
-
Коллекция моделей физических систем ODE и DAE
- Заархивированы 2008-12-19 в Wayback Machine
- Доступны в MATLAB models
-
Заметки о Diffy Qs
- Вводный учебник по дифференциальным уравнениям
- Автор: Иржи Лебл из UIUC
-
Плейлист видеороликов Академии Хана
- Посвящен темам первого курса дифференциальных уравнений
-
Плейлист видео по дифференциальным уравнениям MathDiscuss
- Включает видео по различным аспектам дифференциальных уравнений