Дифференцируемая функция

• Определение дифференцируемости

  • Функция f дифференцируема в точке x0, если существует производная f'(x0). 
  • График функции должен иметь невертикальную касательную в точке (x0, f(x0)). 
  • Функция дифференцируема на множестве U, если дифференцируема в каждой точке. 
  • Непрерывная функция f является дифференцируемой, если производная также непрерывна. 

• Дифференцируемость вещественных функций

  • Функция f: U → R дифференцируема в точке a, если производная существует. 
  • Дифференцируемость функции подразумевает непрерывность в точке a. 
  • Не все непрерывные функции дифференцируемы. 

• Классы дифференцируемости

  • Функция f непрерывно дифференцируема, если производная непрерывна. 
  • Существуют функции, которые дифференцируемы, но не непрерывно дифференцируемы. 
  • Функции, дифференцируемые для всех натуральных чисел, называются гладкими или класса C∞. 

• Дифференцируемость в комплексном анализе

  • Комплекснодифференцируемость определяется аналогично вещественным функциям, но является более ограничительным. 
  • Комплексно дифференцируемая функция автоматически дифференцируема как функция от двух вещественных переменных. 
  • Функция может быть дифференцируема как функция с несколькими переменными, но не быть комплексно дифференцируемой. 

• Дифференцируемость на многообразиях

  • Функция на дифференцируемом многообразии называется дифференцируемой в точке, если дифференцируема относительно координатной диаграммы. 
  • Функция между дифференцируемыми многообразиями называется дифференцируемой, если дифференцируема относительно соответствующих диаграмм.