Дискретная теория Морса
- Дискретная теория Морса — комбинаторная адаптация теории Морса, разработанная Робином Форманом.
- Теория имеет практические применения в различных областях математики и информатики.
- Обозначения: X — комплекс CW, κ — функция инцидентности, ∂ — граничный оператор.
- Дискретные функции Морзе: вещественнозначная функция μ: X → R удовлетворяет двум свойствам.
- Критические ячейки — ячейки, у которых нет пар (значения функций строго выше и ниже смежных ячеек).
- Дискретная функция Морзе разбивает непрерывный комплекс на критические ячейки, граничные ячейки и ячейки, соединенные с соседними ячейками.
- Фундаментальный результат: непрерывный комплекс X изоморфен на уровне гомологии комплексу A, состоящему только из критических ячеек.
- Градиентный контур — последовательность парных ячеек, соединяющих критические ячейки.
- Индекс градиентного пути — целое число, определяемое частотой встречаемости парных ячеек.
- Путь ρ соединяет две критические ячейки A и A’, если κ(A, Q1) ≠ 0 ≠ κ(K, A’).
- Кратность соединения определяется как целое число m(ρ) = κ(A, Q1) ⋅ ν(ρ) ⋅ κ(K, A’).
Полный текст статьи: