Дискретный логарифм

• Определение и свойства дискретных логарифмов

  • Дискретный логарифм — это обратная операция к возведению в степень по модулю простого числа. 
  • Дискретные логарифмы используются в криптографии для создания ключей и проверки подлинности. 
  • Существуют различные определения дискретных логарифмов в зависимости от контекста. 

• Примеры и теоретико-групповые аспекты

  • Степени 10 образуют циклическую группу, и дискретный логарифм 10-й степени равен 1. 
  • Степени фиксированного числа b образуют мультипликативную подгруппу, и дискретный логарифм b-й степени равен k. 
  • В модульной арифметике дискретный логарифм является обратной операцией к модульному возведению в степень. 

• Свойства дискретных логарифмов

  • Функция дискретного логарифма является групповым гомоморфизмом. 
  • Существуют уникальные дискретные логарифмы для элементов в определенной подгруппе. 
  • Для конечных групп дискретный логарифм уникален с точностью до конгруэнтности по модулю n. 

• Алгоритмы вычисления дискретных логарифмов

  • Классический алгоритм пробного умножения требует экспоненциального времени. 
  • Существуют более быстрые алгоритмы, основанные на факторизации целых чисел. 
  • Квантовые алгоритмы эффективны для вычисления дискретных логарифмов. 

• Сравнение с целочисленной факторизацией

  • Дискретные логарифмы и факторизация целых чисел имеют общие свойства и используются в криптографии. 
  • Асимметрия между целочисленной факторизацией и дискретным логарифмированием используется в криптографических системах. 

• Криптография и практическое применение

  • Дискретные логарифмы используются в различных криптографических алгоритмах, включая Шифрование по Эльгамалу и Диффи-Хеллмана. 
  • Интернет-трафик часто использует группы с небольшим размером, что делает их уязвимыми для атак. 

• Атака Logjam и ее последствия

  • Атака Logjam использовала уязвимость в криптографических системах, основанных на дискретных логарифмах. 
  • Предполагается, что АНБ США обладает способностью взломать большую часть современной криптографии.