Доступная категория

• Основы теории доступных категорий

  • Теория доступных категорий — это раздел математики, описывающий категории через количество операций, необходимых для создания объектов. 
  • Теория берет начало в работах Гротендика и других математиков, получила развитие в 1980-х годах и имеет стандартный учебник с 1994 года. 

• Применение в теории гомотопий

  • Теория доступных категорий используется в теории гомотопий, особенно в работах Гротендика. 

• Свойства доступных категорий

  • Доступные категории зависят от используемых наборов юниверсов и принципа Вопенки. 

• Определение κ-ориентированных границ и κ-презентабельных объектов

  • κ-ориентированные границы — это ограничения на подмножества, имеющие верхнюю границу в κ-направленном множестве. 
  • κ-презентабельный объект — это объект, сохраняющий все κ-направленные ограничения. 

• Примеры доступных категорий

  • В категории множеств конечно презентабельные объекты совпадают с конечными множествами. 
  • В категории групп конечно презентабельные объекты — это конечно представленные группы. 
  • В категории R-модулей над кольцом R конечно презентабельные объекты — это конечно представленные модули. 

• Определение κ-доступных и локально презентабельных категорий

  • Категория называется κ-доступной, если она обладает всеми κ-направленными ограничениями и содержит κ-презентабельные объекты. 
  • Категория называется локально презентабельной, если она является κ-доступной для некоторого бесконечного регулярного кардинала κ. 

• Примеры локально представимых категорий

  • Множество категорий множеств и функций локально конечно представимо. 
  • Категория R-модулей локально конечно презентабельна для любого кольца R. 
  • Категория симплициальных множеств конечно доступна. 
  • Категория Mod(T) моделей теории первого порядка T со счетной сигнатурой равна ℵ1-доступной. 

• Теоремы о доступных категориях

  • Каждая локально представимая категория является полной. 
  • Категория локально представима тогда и только тогда, когда она эквивалентна категории моделей предельного эскиза. 
  • Сопряженные функторы между локально представимыми категориями обладают простой характеристикой.