Дружественные числа

• Определение и история дружественных чисел

  • Дружественные числа — это пары натуральных чисел, которые имеют одинаковое количество делителей. 
  • Первое упоминание о дружественных числах относится к 1202 году, но они были известны и ранее. 
  • В 1640 году Пьер де Ферма сформулировал теорему о том, что существует бесконечно много пар дружественных чисел. 

• Примеры и классификация

  • Примеры дружественных чисел включают (6, 8), (220, 284), (555, 1111) и другие. 
  • Дружественные числа классифицируются по количеству делителей, типу простых множителей и другим критериям. 

• Правило Эйлера и его следствия

  • Правило Эйлера обобщает теорему Табита ибн Курры, указывая на существование пар совпадающих чисел для определенных значений n и m. 
  • Эйлер обнаружил 58 новых пар дружественных чисел, увеличив общее количество известных пар до 61. 

• Обычные и экзотические пары

  • Обычные пары имеют взаимно простые и не имеющие квадратов множители, в то время как экзотические пары могут иметь различные простые множители. 
  • Не существует четно-нечетной пары дружественных чисел, но есть пары с разными наименьшими простыми множителями. 

• Гипотезы и открытия

  • Плотность совпадающих чисел равна нулю, что было доказано Паулем Эрдешем в 1955 году. 
  • Мартин Гарднер отметил, что большинство четных дружественных пар имеют кратные 9 суммы. 
  • Существует гипотеза о том, что процент сумм дружественных пар, кратных десяти, приближается к 100% при приближении к бесконечности. 

• Обобщения и упоминания в культуре

  • Дружественные числа могут быть обобщены на кортежи и мультимножества, а также на общительные числа. 
  • Они упоминаются в литературе, кино и видеоиграх, включая «Экономку и профессора», «Правдивые истории из американской жизни» и Persona 4 Golden.