Мартингейл Doob
-
Определение мартингейла Дуба
- Мартингейл Дуба аппроксимирует заданную случайную величину и обладает свойством мартингейла по отношению к фильтрации.
- Это эволюционирующая последовательность наилучших приближений к случайной величине.
-
Применение мартингейлов
- При анализе сумм, случайных блужданий и аддитивных функций независимых случайных величин используются центральная предельная теорема, закон больших чисел и другие инструменты.
- При анализе объектов с зависимыми различиями применяются мартингалы и неравенство Азумы.
-
Определение мартингейла Doob
- Пусть Y — случайная величина с конечным средним.
- Пусть {F0, F1, …} — фильтрация, где Fs ⊂ Ft при s < t.
- Тогда {Z0, Z1, …} является мартингейлом Doob по отношению к фильтрации {F0, F1, …}.
-
Свойства мартингейла Doob
- E[|Zt|] ≤ E[|Y|] для всех t.
- E[Zt | Ft-1] = E[Y | Ft-1] для всех t.
-
Применение к функциям
- Для любой последовательности случайных величин {X1, X2, …, Xn} и функции f можно выбрать фильтрацию {F0, F1, …} и мартингейл Doob {Z0, Z1, …}.
- Zn = f(X1, X2, …, Xn).
-
Неравенство Макдиармида
- Мартингейл Doob введен Джозефом Л. Дубом в 1940 году.
- Неравенство Макдиармида применяется к функциям с ограниченным разностью.
- Функция f удовлетворяет свойству ограниченных разностей, если изменение значения f не превышает c для всех i.
- Для независимых случайных величин X1, X2, …, Xn и любого ε > 0, выполняется неравенство.