Двойной конус и полярный конус

• Определение двойного конуса

  • Двойной конус C* подмножества C в векторном пространстве X над вещественными числами. 
  • C* является выпуклым конусом, даже если C не является конусом. 
  • В топологическом векторном пространстве C’ является набором непрерывных линейных функционалов. 
  • В гильбертовом пространстве C’ называется внутренним двойным конусом. 

• Свойства двойного конуса

  • Ненулевой вектор y в C* тогда и только тогда, когда он является нормой в гиперплоскости, поддерживающей C, и лежит на одной стороне этой гиперплоскости. 
  • C’ является замкнутым и выпуклым, если C является конусом. 
  • C1⊆C2 подразумевает C2’⊆C1′. 
  • Если C имеет непустую внутреннюю часть, то C’ является заостренным. 
  • C** — замыкание наименьшего выпуклого конуса, содержащего C. 

• Самодвойственные конусы

  • Конус C в векторном пространстве X называется самодвойственным, если внутренний двойной конус равен C. 
  • Примеры самодвойственных конусов включают неотрицательный ортант Rn и пространство положительных полуопределенных матриц. 
  • Не все конусы в R3 являются самодвойственными. 

• Полярный конус

  • Полярный конус C’ множества C в X равен отрицательному значению двойного конуса C*. 
  • Для замкнутого выпуклого конуса C в X полярный конус эквивалентен полярному множеству для C.