Двойной конус и полярный конус
-
Определение двойного конуса
- Двойной конус C* подмножества C в векторном пространстве X над вещественными числами.
- C* является выпуклым конусом, даже если C не является конусом.
- В топологическом векторном пространстве C’ является набором непрерывных линейных функционалов.
- В гильбертовом пространстве C’ называется внутренним двойным конусом.
-
Свойства двойного конуса
- Ненулевой вектор y в C* тогда и только тогда, когда он является нормой в гиперплоскости, поддерживающей C, и лежит на одной стороне этой гиперплоскости.
- C’ является замкнутым и выпуклым, если C является конусом.
- C1⊆C2 подразумевает C2’⊆C1′.
- Если C имеет непустую внутреннюю часть, то C’ является заостренным.
- C** — замыкание наименьшего выпуклого конуса, содержащего C.
-
Самодвойственные конусы
- Конус C в векторном пространстве X называется самодвойственным, если внутренний двойной конус равен C.
- Примеры самодвойственных конусов включают неотрицательный ортант Rn и пространство положительных полуопределенных матриц.
- Не все конусы в R3 являются самодвойственными.
-
Полярный конус
- Полярный конус C’ множества C в X равен отрицательному значению двойного конуса C*.
- Для замкнутого выпуклого конуса C в X полярный конус эквивалентен полярному множеству для C.
Полный текст статьи: