Оглавление
Возвышенный Комм
-
Определение Exalcomm
- Exalcomm классифицирует расширения коммутативной алгебры по модулю.
- Элементы Exalcommk (R, M) являются классами изоморфизма коммутативных k-алгебр E с гомоморфизмом на k-алгебру R, ядром которой является R-модуль M.
-
История и аналоги
- Exalcomm был представлен Гротендиком и Дьедонне в 1964 году.
- Существуют аналогичные функторы Exal и Exan для некоммутативных колец и алгебр, а также Exaltop, Exantop и Exalcotop, учитывающие топологию.
-
Расширения с нулевым квадратом
- Для понимания Exalcomm необходимо определить расширения с нулевым квадратом.
- Расширение с нулевым квадратом — это сюръективный морфизм A-алгебры p: E → B, ядро которого обладает свойством I2 = (0).
-
Примеры расширений
- Деформации над двойственными числами приводят к расширениям с нулевым квадратом.
- Тривиальное расширение с нулевым квадратом задается формулой B ⊕ M.
-
Строительство Exalcomm
- Общая абстрактная конструкция Exalcomm вытекает из категории расширений над топосом T.
- Существует функтор π: Exalcomm(B, −) → B-Мод, который переводит пары (A, p: E → B) в пары (A → B, I), где I — B-модуль.
-
Структура Exalcomm
- Автоморфизмы объектов Exalcomm(B, I) классифицируются по модулю DerA(B, M).
- Категория Exalcomm(B, I) является торсором.
- Состав расширений: Exalcomm(B, I ⊕ J) ≅ Exalcomm(B, I) × Exalcomm(B, J).
-
Приложения и связь с комплексом кокасательных
- Деформации, задаваемые бесконечно малыми величинами, дают изоморфизм Exalcomm(B, (ε1) ⊕ (ε2)) ≅ Exalcomm(B, (ε1)) × Exalcomm(B, (ε2)).
- Комплекс кокасательных содержит всю информацию о задаче деформации и связан с Exalcomm через функториальный изоморфизм.
-
Возвышенный морфизм
- Возвышенный морфизм A(B, M) → Внешний B1(LB/A, M)
- Возвышенный морфизм A'(B’, M) → Внешний B'(LB’/A’, M)
- Горизонтальные стрелки являются изоморфизмами
- M имеет структуру, напоминающую B’-модуль из кольцевого морфизма
-
Теория деформации
- Комплекс кокасательных
- Стопка Пикарда
-
Рекомендации
- Теория деформации