Формальная система

• Определение формальной системы

  • Формальная система — это абстрактная структура, используемая для вывода теорем из аксиом. 
  • Дэвид Гильберт предложил формальные системы как основу математики в 1921 году. 

• Особенности формальной системы

  • Формальный язык состоит из правильно сформированных формул, определяемых формальной грамматикой. 
  • Дедуктивная система включает аксиомы и правила вывода, которые позволяют выводить теоремы. 
  • Формальная система может быть рекурсивной или рекурсивно перечислимой, если аксиомы и правила вывода разрешимы или полуразрешимы. 

• Дедуктивная система и доказательства

  • Дедуктивная система состоит из аксиом и правил вывода, которые позволяют выводить теоремы системы. 
  • Система должна быть дедуктивно целостной, чтобы гарантировать логическую последовательность выводов. 
  • Формальные системы могут быть основой для более широких теорий или областей знаний. 

• Формальная семантика

  • Логическая система включает в себя дедуктивную систему и дополнительные нелогические аксиомы. 
  • Модель логической системы описывает соответствие формул определенному значению. 
  • Арифметика Пеано является примером логической системы с определенной стандартной моделью. 

• История формальных систем

  • Ранние логические системы включали индийскую логику, логику Аристотеля и китайскую логику. 
  • Математическая логика была разработана в Европе в 19 веке, а Гильберт инициировал формалистическое движение. 

• Дополнительная информация

  • В статье упоминаются другие связанные понятия, такие как метаязык, метатеоремы и логический перевод. 
  • Ссылки на дополнительные источники и внешние ресурсы также включены.