Оглавление
Фундаментальный класс
-
Определение фундаментального класса
- Фундаментальный класс [M] связан с связным ориентируемым компактным многообразием размерности n.
- Он соответствует генератору группы гомологий Hn(M, ∂M; Z) ≅ Z.
- Фундаментальный класс можно рассматривать как ориентацию многомерных симплексов триангуляции многообразия.
-
Ориентируемые многообразия
- Если M связное ориентируемое замкнутое многообразие, Hn(M; Z) ≅ Z, и ориентация — это выбор генератора.
- Если M отключено, фундаментальный класс является прямой суммой фундаментальных классов для каждого компонента.
- В когомологиях де Рама фундаментальный класс представляет интегрирование по M.
-
Ориентируемые многообразия с границей
- Если M компактное ориентируемое многообразие с границей, Hn(M, ∂M) ≅ Z, и понятие фундаментального класса распространяется на этот случай.
-
Двойственность Пуанкаре
- Теорема двойственности Пуанкаре связывает группы гомологий и когомологий ориентированных замкнутых многообразий.
- Для многообразий с границей двойственность Пуанкаре может быть распространена на случай с границей.
-
Приложения
- В разложении Брюа многообразия флагов группы Ли фундаментальный класс соответствует ячейке Шуберта верхнего измерения.
- Фундаментальный класс также связан с самым длинным элементом группы Кокстера.