Оглавление
Гипотеза Бореля
-
Гипотеза Бореля
- Утверждает, что асферическое замкнутое многообразие определяется его фундаментальной группой с точностью до гомеоморфизма
- Гипотеза о жесткости, утверждающая, что гомотопическая эквивалентность подразумевает гомеоморфизм
-
Точная формулировка гипотезы
- Пусть M и N — замкнутые и асферические топологические многообразия, а f — гомотопическая эквивалентность
- Гипотеза Бореля утверждает, что отображение f гомотопично гомеоморфизму
-
Ложность гипотезы
- Гипотеза ложна, если топологические многообразия и гомеоморфизмы заменить гладкими многообразиями и диффеоморфизмами
- Контрпримеры можно построить, взяв связную сумму с экзотической сферой
-
Происхождение гипотезы
- Арман Борель поднял вопрос о гомеоморфности асферических многообразий с изоморфными фундаментальными группами в письме Жан-Пьеру Серру в 1953 году
- Положительный ответ на вопрос упоминается как “гипотеза Бореля” в статье Джонатана Розенберга 1986 года
-
Мотивация для гипотезы
- Основной вопрос: являются ли гомотопически эквивалентные многообразия гомеоморфными?
- В общем случае это неверно, но существуют классы многообразий, для которых гомотопические эквивалентности сводятся к гомеоморфизмам
- Гипотеза Бореля — топологическая переформулировка жесткости Мостова
-
Связь с другими гипотезами
- Гипотеза Бореля подразумевает гипотезу Новикова для частного случая
- Гипотеза Пуанкаре утверждает, что гомотопия замкнутого многообразия, эквивалентная S3, гомеоморфна S3
- Гипотеза Бореля для 3-тора T3 вытекает гипотеза Пуанкаре для S3