Группа (математика)
-
Определение группы
- Группа — это множество с бинарной операцией, удовлетворяющей аксиомам ассоциативности, идентичности и существования обратных элементов.
- Целые числа с операцией сложения образуют бесконечную группу.
-
История и применение
- Концепция групп была разработана для унификации математических структур.
- Группы широко используются в геометрии, физике и других областях.
-
Основные понятия
- Подгруппа, нормальная подгруппа, групповое действие, группа факторов, прямая сумма и другие понятия.
- Группы могут быть конечными, бесконечными, непрерывными, мультипликативными и другими.
-
Классификация и классификация
- Классификация конечных простых групп завершена в 2004 году.
- Геометрическая теория групп активно развивается с середины 1980-х годов.
-
Примеры групп
- Целые числа, свободная группа, PSL(2, Z), SL(2, Z), арифметическая группа, решетка и другие.
-
Глоссарий и терминология
- Глоссарий включает термины, связанные с группами, такие как подгруппа, нормальная подгруппа и другие.
- Термины, связанные с группами, включают циклическую группу, симметричную группу, чередующиеся группы и другие.
-
Группы симметрии
- Две фигуры на плоскости конгруэнтны, если их можно превратить друг в друга с помощью поворотов, отражений и перемещений.
- Квадрат имеет восемь симметрий: горизонтальное отражение, диагональное отражение, противодиагональное отражение, повороты на 90°, 180° и 270° по часовой стрелке, отражения по горизонтальной и вертикальной средней линии, а также по двум диагоналям.
- Эти симметрии образуют группу, называемую двугранной группой четвертой степени (D4).
-
Групповые операции
- Композиция симметрий является бинарной операцией, то есть a ∘ b является симметрией для любых a и b.
- Ассоциативность: (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c).
- Идентификационный элемент: id не изменяет симметрии при составлении с ним.
- Обратный элемент: у каждой симметрии есть обратный элемент, например, fh ∘ r1 = fc, но r1 ∘ fh = fd.
-
История теории групп
- Теория групп возникла из поиска решений полиномиальных уравнений.
- Эварист Галуа дал критерий разрешимости полиномиальных уравнений в терминах групп симметрии корней.
- Артур Кейли дал первое абстрактное определение конечной группы.
- Геометрия и теория чисел внесли значительный вклад в развитие теории групп.
- Камиль Джордан и Вальтер фон Дейк внесли вклад в аксиоматическое определение абстрактной группы.
- В 20-м веке группы получили широкое признание благодаря работам Фробениуса, Бернсайда, Брауэра и Шура.
- Теория групп Ли и алгебраических групп была разработана Клодом Шевалле и Арманом Борелем.
- В 1960-61 годах в Чикагском университете началась классификация конечных простых групп, завершенная Ашбахером и Смитом в 2004 году.
-
Элементарные следствия из групповых аксиом
- Однозначность a ∘ b ∘ c = (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c) обобщается на более чем три фактора.
- Уникальность элемента идентификации.
-
Основные понятия групп
- Группы определяются аксиомами, включающими существование уникального тождественного элемента и уникальных обратных элементов.
- Тождественный элемент и обратные элементы образуют биекции, называемые левым и правым умножением.
-
Эквивалентные определения
- Аксиомы могут быть ослаблены до существования только левого тождественного элемента и левого обратного элемента.
- Эти ослабленные аксиомы определяют те же структуры, что и полные аксиомы.
-
Гомоморфизмы и изоморфизмы
- Гомоморфизмы — это функции, сохраняющие групповую структуру.
- Изоморфизмы — это гомоморфизмы с обратными гомоморфизмами.
- Группы, имеющие изоморфизмы, называются изоморфными.
-
Подгруппы и их свойства
- Подгруппа — это группа, содержащаяся в другой группе.
- Подгруппа проверяется на включение в неё обратного элемента.
- Подгруппы важны для понимания группы в целом.
-
Косеты
- Косеты используются для формализации эквивалентности элементов группы.
- Левый и правый косеты определяются как переводы подгруппы на произвольный элемент группы.
- Левые косеты образуют разбиение группы.
-
Смежные классы и нормальные подгруппы
- Объединение всех левых смежных классов равно G, и два смежных класса либо равны, либо имеют пустое пересечение.
- Нормальная подгруппа — это подгруппа, для которой все левые смежные классы совпадают с правыми смежными классами.
- В D4 подгруппа R является нормальной, так как все левые смежные классы равны.
-
Частные группы
- Частные группы — это группы, образованные смежными классами подгруппы.
- Групповая операция в частных группах определяется через смежные классы.
- Частные группы могут быть охарактеризованы универсальным свойством.
-
Презентации групп
- Каждая группа изоморфна частному от свободной группы.
- Презентация группы — это сюръективный гомоморфизм из свободной группы на двух генераторах.
- Первая теорема об изоморфизме приводит к изоморфизму между презентацией и группой.
-
Примеры и области применения
- Группы используются в различных областях математики, таких как алгебраическая топология и алгебраическая геометрия.
- Группы применяются в криптографии и других науках, таких как физика и химия.
- Целые и рациональные числа имеют естественную групповую структуру.
- Целые числа с умножением не образуют группу, но рациональные числа с умножением образуют группу.
-
Группы рациональных чисел
- Рациональные числа образуют группу под умножением, если исключить ноль.
- Ассоциативность и наличие обратного элемента следуют из свойств целых чисел.
- Рациональные числа также образуют группу под сложением.
-
Модулярная арифметика
- Модулярная арифметика определяет эквивалентность элементов по модулю n.
- Модулярное сложение образует группу Zn с 0 как единицей и n-a как обратным элементом.
- Модулярное умножение образует группу Fp× с p как единицей и обратным элементом.
-
Циклические группы
- Циклические группы состоят из элементов, являющихся степенями одного элемента a.
- В группах Z/nZ и Fp× элемент 1 является генератором.
- Циклические группы могут быть как конечными, так и бесконечными.
-
Симметрия групп
- Симметрия групп описывает симметрии математических объектов.
- Группы могут действовать на другие объекты, изменяя их структуру.
- Симметрии важны в химии, кристаллографии и квантовой механике.
-
Применение групп в теории кодирования и дифференциальной теории Галуа
- Группы используются в теории кодирования для исправления ошибок в передаваемых данных и в CD-плеерах.
- Дифференциальная теория Галуа характеризует функции с антидифференциалами заданного вида, давая критерии для хорошо себя ведущих решений дифференциальных уравнений.
-
Геометрические свойства и теория инвариантов
- Геометрические свойства, сохраняющиеся при действии групп, исследуются в теории инвариантов.
-
Матричные группы и теория представлений
- Матричные группы состоят из матриц и операций умножения.
- Общая линейная группа GL(n, R) состоит из всех обратимых матриц n-by-n с действительными элементами.
- Теория представлений изучает действия групп на других пространствах, переводя абстрактные операции в матричные.
-
Группы Галуа
- Группы Галуа помогают решать полиномиальные уравнения, описывая их симметрию.
- Современные группы Галуа обобщают теорию, рассматривая расширения полей, что подчеркивает связь между полями и группами.
-
Финальные группы
- Финальная группа имеет конечное число элементов, называемых порядком группы.
- Симметрические группы S(N) являются фундаментальным классом, так как любая конечная группа может быть выражена как подгруппа S(N).
- Порядок элемента в группе равен порядку циклической подгруппы, генерируемой этим элементом.
-
Финальные абелевы группы
- Любая конечная абелева группа изоморфна произведению конечных циклических групп.
- Группы простого порядка p изоморфны циклической группе Zp.
- Группы порядка p2 абелевы и изоморфны Zp2 или Zp × Zp.
- Существуют неабелевы группы порядка p3, например, диэдральная группа D4.
-
Простые группы
- Группа называется простой, если не имеет нормальной подгруппы, отличной от {1} и самой группы.
- Классификация всех конечных простых групп является важной задачей, но до сих пор не решена полностью.
-
Группы с дополнительной структурой
- Альтернативное определение группы включает операции, а не существование элементов.
- Это определение используется в компьютерных вычислениях и для компьютерных доказательств.
-
Топологические группы
- Топологические пространства могут быть наделены групповым законом.
- Для этого операции группы должны быть непрерывными функциями.
-
Топологические группы
- Топологические группы — это группы в категории топологических пространств.
- Примеры: группа действительных чисел под сложением и группа ненулевых действительных чисел под умножением.
- Локально компактные группы имеют меры Хаара и могут изучаться через гармонический анализ.
-
Группы Ли
- Группы Ли — это группы, имеющие структуру дифференцируемых многообразий.
- Пример: общая линейная группа, открытая подмножество пространства матриц.
- Важны в современной физике, например, в теории относительности и квантовой теории поля.
-
Обобщения
- Моноиды — алгебраические структуры без обратных элементов.
- Группы можно рассматривать как маленькие категории с одним объектом.
- Группоиды — это маленькие категории, где каждый морфизм является изоморфизмом.
- n-арные группы — обобщение групп с n-арными операциями.