Групповое действие

• Определение и свойства групп

  • Группа — это множество с операцией, удовлетворяющей определенным условиям. 
  • Группа является абелевой, если операция является коммутативной. 
  • Группа является группой Ли, если она удовлетворяет условиям Ли. 

• Действия групп

  • Действие группы G на множестве X — это отображение G → X, удовлетворяющее определенным условиям. 
  • Действие G на X называется свободным, если все элементы G действуют транзитивно. 
  • Действие G на X называется эффективным, если ядро гомоморфизма G → Sym (X) тривиально. 

• Инвариантные подмножества и орбиты

  • Подмножество Y называется инвариантным относительно G, если G∈Y = Y. 
  • Орбита G⋅x — это множество всех элементов g∈G, таких, что g⋅x = x. 
  • Каждая орбита является объединением подмножеств, называемых классами сопряженности. 

• Теорема о стабилизации орбиты и лемма Бернсайда

  • Теорема о стабилизации орбиты связывает орбиту и стабилизатор. 
  • Лемма Бернсайда связывает количество орбит с количеством точек, фиксированных на элемент группы. 

• Примеры действий групп

  • Примеры включают действия на множестве G, умножение слева, сопряжения и скалярное умножение. 
  • Действия групп на геометрических объектах, таких как многогранники и координатные пространства, также являются примерами. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.