Маленький кардинал
-
Определение и свойства кардиналов
- Кардиналы — это элементы бесконечных множеств, которые не могут быть выражены через натуральные числа.
- Существует кардинальное число для каждого бесконечного множества, и они образуют иерархию.
- Кардиналы могут быть определены как наименьшие элементы в иерархии, которые не могут быть выражены через другие кардиналы.
-
Примеры кардиналов
- Существует кардинальное число для множества натуральных чисел, которое обозначается как «константа Кантора».
- Существует кардинальное число для множества всех подмножеств натуральных чисел, которое обозначается как «мощность множества».
- Существует кардинальное число для множества всех функций от натуральных чисел до натуральных чисел, которое обозначается как «кардинал Бореля».
-
Теоремы о кардиналах
- Существует кардинальное число для каждого бесконечного множества, которое не может быть выражено через натуральные числа.
- Существуют кардиналы, которые не могут быть выражены через другие кардиналы, даже если они являются частью более крупной иерархии.
- Некоторые теоремы о кардиналах, такие как теорема Кантора, не могут быть доказаны в рамках стандартной теории множеств.
-
Примеры использования кардиналов
- Кардиналы используются для определения мощности множеств и функций, а также для доказательства теорем о функциях Бореля.
- Некоторые теоремы о кардиналах требуют кардиналов, которые не могут быть выражены через другие кардиналы, что делает их недоступными для доказательства в некоторых теориях.