Оглавление
- 1 Кинематика
- 1.1 История и определение кинематики
- 1.2 Основные понятия кинематики
- 1.3 Применение кинематики
- 1.4 Кинематический анализ и синтез
- 1.5 Этимология термина
- 1.6 Определение ускорения
- 1.7 Вектор относительного положения
- 1.8 Относительная скорость
- 1.9 Относительное ускорение
- 1.10 Интегрирование уравнений движения
- 1.11 Дополнительные соотношения
- 1.12 Параметрические уравнения движения
- 1.13 Траектории частиц в цилиндрически-полярных координатах
- 1.14 Траектория частицы на цилиндре
- 1.15 Производные по времени
- 1.16 Постоянный радиус
- 1.17 Плоские круговые траектории
- 1.18 Траектории точек в теле, движущемся в плоскости
- 1.19 Однородные преобразования
- 1.20 Чистый перевод
- 1.21 Поступательная кинематика
- 1.22 Вращение тела вокруг неподвижной оси
- 1.23 Точечные траектории в теле, движущемся в трех измерениях
- 1.24 Ускорение точки P
- 1.25 Кинематические ограничения
- 1.26 Примеры кинематических ограничений
- 1.27 Кинематические пары
- 1.28 Кинематические цепи
- 1.29 Примеры кинематических цепей
- 1.30 Дополнительные ресурсы
- 1.31 Полный текст статьи:
- 2 Кинематика
Кинематика
-
История и определение кинематики
- Кинематика описывает движение точек, тел и систем тел без учета сил.
- Термин “кинематика” происходит от греческого κίνημα, что означает “движение”.
-
Основные понятия кинематики
- Положение частицы определяется как вектор координат от начала системы отсчета.
- Траектория частицы – это векторная функция времени, описывающая кривую движения.
- Скорость частицы – это векторная величина, описывающая направление и величину движения.
- Ускорение учитывает скорость изменения вектора скорости.
-
Применение кинематики
- Используется в астрофизике для описания движения небесных тел.
- Применяется в машиностроении, робототехнике и биомеханике для описания движения систем.
- Геометрические преобразования упрощают вывод уравнений движения.
-
Кинематический анализ и синтез
- Кинематический анализ измеряет кинематические величины для описания движения.
- Кинематический синтез проектирует механизмы с желаемым диапазоном перемещения.
-
Этимология термина
- Термин “кинематический” связан с французским словом cinéma, но не является его производным.
- Термин происходит от греческого κίνημα, что означает “движение”.
-
Определение ускорения
- Ускорение частицы определяется как предел среднего ускорения при приближении временного интервала к нулю.
- Ускорение можно выразить через производные по времени от скорости и положения.
-
Вектор относительного положения
- Вектор относительного положения определяет положение одной точки относительно другой.
- Положение точки A относительно точки B равно разнице между их компонентами.
-
Относительная скорость
- Скорость одной точки относительно другой равна разнице между их скоростями.
- Скорость можно выразить через производную по времени от вектора относительного положения.
-
Относительное ускорение
- Ускорение одной точки относительно другой равно разнице между их ускорениями.
- Ускорение можно выразить через вторую производную по времени от вектора относительного положения.
-
Интегрирование уравнений движения
- Первое интегрирование дает скорость частицы как функцию времени.
- Второе интегрирование дает путь (траекторию) частицы.
-
Дополнительные соотношения
- Ускорение можно выразить через скорость и время.
- Зависимость между скоростью, положением и ускорением можно получить через скалярное произведение.
-
Параметрические уравнения движения
- Уравнение движения частицы можно свести к декартовой зависимости скорости от положения.
- Это уравнение полезно, когда время неизвестно.
-
Траектории частиц в цилиндрически-полярных координатах
- Траектория частицы может быть выражена через полярные координаты в плоскости X–Y.
- Скорость и ускорение частицы принимают удобную форму в полярных координатах.
-
Траектория частицы на цилиндре
- Частица движется по поверхности круглого цилиндра r(t) = постоянная.
- Угол θ вокруг оси z используется для определения траектории.
- Радиальный и тангенциальный единичные векторы упрощают запись.
-
Производные по времени
- Производные по времени радиального и тангенциального векторов.
- Центростремительное ускорение и ускорение Кориолиса.
-
Постоянный радиус
- Скорость и ускорение упрощаются при постоянном радиусе.
- Скорость равна угловой скорости единичного вектора θ^.
-
Плоские круговые траектории
- Скорость и ускорение задаются формулами для круговых траекторий.
- Радиальная и тангенциальная составляющие ускорения.
-
Траектории точек в теле, движущемся в плоскости
- Движение компонентов механической системы описывается жесткими преобразованиями.
- Жесткие преобразования сохраняют расстояние между точками.
- Матричное представление перемещений и подвижности.
-
Однородные преобразования
- Комбинация вращения и перемещения представлена матрицей 3×3.
- Однородные преобразования выполняют жесткие преобразования в плоскости z = 1.
-
Чистый перевод
- Движение называется чистым поступательным, если система отсчета M не вращается.
- Траектория каждой точки тела является смещением траектории d(t) от начала координат M.
-
Поступательная кинематика
- Скорость и ускорение точки P в теле задаются формулой: vP = r˙(t) = d˙(t) = vO, aP = r¨(t) = d¨(t) = aO.
- Координатный вектор p в M постоянен, поэтому его производная равна нулю.
-
Вращение тела вокруг неподвижной оси
- Вращение описывается как угловое положение плоской системы отсчета M относительно фиксированной точки F вокруг оси z.
- Координаты p в M связаны с координатами P в F матричным уравнением: P(t) = [A(t)]p.
- Скорость точки P в F определяется формулой: vP = [A˙(t)]p.
- Ускорение точки P в F получается как производная от скорости по времени: AP = [Ω˙]P + [Ω]P˙.
-
Точечные траектории в теле, движущемся в трех измерениях
- Движение компонента B определяется набором вращений [A(t)] и перемещений d(t), объединенных в однородное преобразование [T(t)].
- Траектория точки P в F задается формулой: P(t) = [T(t)]p.
- Скорость точки P вдоль ее траектории P(t) определяется как производная по времени от этого вектора положения: vP = [T˙(t)]p.
-
Ускорение точки P
- Ускорение точки P определяется как производная по времени от вектора её скорости.
- Формула для ускорения включает вектор угловой скорости и ускорение начала координат.
-
Кинематические ограничения
- Кинематические ограничения делятся на голономные и неголономные.
- Голономные ограничения возникают из-за шарниров и ползунков.
- Неголономные ограничения накладываются на скорость системы.
-
Примеры кинематических ограничений
- Кинематическая муфта ограничивает все 6 степеней свободы.
- Объект, катящийся без проскальзывания, подчиняется условию v = rω.
- Нерастяжимый шнур ограничивает сумму длин отрезков шнура.
-
Кинематические пары
- Рело различал более высокие и более низкие пары.
- Нижняя пара поддерживает контакт между точкой, линией или плоскостью в движущемся теле и соответствующей точкой, линией или плоскостью в неподвижном теле.
- Примеры: вращающаяся пара, призматическое соединение, цилиндрическое соединение, сферическое соединение, плоское соединение.
-
Кинематические цепи
- Твердые тела, соединенные кинематическими парами, называются кинематическими цепями.
- Примеры: механизмы и роботы.
- Степень свободы кинематической цепи вычисляется на основе количества звеньев и шарниров.
-
Примеры кинематических цепей
- Плоские шарнирные соединения с одной степенью свободы имеют различные топологии.
- Примеры: двухшарнирное соединение, четырехшарнирная навеска, навеска из шести стержней.
-
Дополнительные ресурсы
- Дальнейшее чтение: Эдуард Штуд, “Основы и цели аналитической кинематики”.
- Внешние ссылки: Java-апплет для 1D-кинематики, Physclips, KMODDL.