Оглавление
- 1 Когомологии
- 1.1 Определение когомологий
- 1.2 Сингулярные когомологии
- 1.3 Определение сингулярных когомологий
- 1.4 Свойства когомологий
- 1.5 Теорема об универсальном коэффициенте
- 1.6 Структура когомологий
- 1.7 Геометрические интерпретации
- 1.8 Произведение когомологий
- 1.9 Интегральные когомологии
- 1.10 Теорема де Рама
- 1.11 Элементы H(X)
- 1.12 Примеры когомологий
- 1.13 Диагональная карта
- 1.14 Двойственность Пуанкаре
- 1.15 Характерные классы
- 1.16 Пространства Эйленберга–Маклейна
- 1.17 Описание когомологий
- 1.18 Произведение cap
- 1.19 История сингулярных когомологий
- 1.20 Когомологии пучков
- 1.21 Когомологии многообразий
- 1.22 Аксиомы и обобщенные теории
- 1.23 Обобщенные теории гомологий и когомологий
- 1.24 Определение обобщенных теорий гомологий и когомологий
- 1.25 Аксиомы обобщенных теорий гомологий и когомологий
- 1.26 Спектры и обобщенные теории гомологий и когомологий
- 1.27 Примеры обобщенных теорий гомологий и когомологий
- 1.28 Другие теории когомологий
- 1.29 Полный текст статьи:
- 2 Когомологии
Когомологии
-
Определение когомологий
- Когомологии — это последовательность абелевых групп, связанных с топологическим пространством.
- Они присваивают пространству более богатые алгебраические инварианты, чем гомологии.
- Когомологии возникают из дуализации построения гомологий.
-
Сингулярные когомологии
- Сингулярные когомологии — мощный инвариант в топологии.
- Они связывают градуированно-коммутативное кольцо с топологическим пространством.
- Каждая непрерывная карта определяет гомоморфизм из кольца когомологий.
-
Определение сингулярных когомологий
- Сингулярный цепной комплекс определяет сингулярные гомологии.
- Коцепной комплекс определяет сингулярные когомологии.
- Группы когомологий H^i(X, A) определяются как ядро d^i/im d^i-1.
-
Свойства когомологий
- Непрерывная карта определяет гомоморфизмы в когомологиях.
- Последовательность Майера-Виеториса важна для вычислений.
- Существуют относительные группы когомологий H^i(X, Y; A).
-
Теорема об универсальном коэффициенте
- Когомологии описываются через Ext-группы.
- Для поля F, H^i(X, F) является двойственным пространством H^i(X, F).
-
Структура когомологий
- Когомологии обладают продуктом cup, который составляет кольцо когомологий.
- Произведение cup градуированно-коммутативно.
- Откат назад f^*: H^*(Y, R) → H^*(X, R) является гомоморфизмом градуированных R-алгебр.
-
Геометрические интерпретации
- Замкнутое ориентированное многообразие определяет класс когомологий [S].
- Произведение cup описывает пересечение подмногообразий.
-
Произведение когомологий
- Произведение когомологий можно вычислить, возмущая S или T для получения поперечного пересечения.
- Замкнутое подмногообразие с ориентацией определяет класс когомологий.
- Кубковое произведение можно описать через пересечения подмногообразий.
-
Интегральные когомологии
- Том построил класс интегральных когомологий на гладком 14-многообразии.
- Каждый класс интегральных когомологий имеет положительное кратное, являющееся классом гладкого подмногообразия.
- Каждый класс интегральных когомологий может быть представлен “псевдомногообразием”.
-
Теорема де Рама
- Сингулярные когомологии изоморфны когомологиям де Рама.
- Произведение на дифференциальные формы градуированно-коммутативно.
- Произведение на сингулярные коцепи градуированно-коммутативно только с точностью до гомотопии цепи.
-
Элементы H(X)
- Элементы H(X) можно рассматривать как подпространства X, которые могут свободно перемещаться.
- Класс когомологий f∗([N]) может свободно перемещаться по X.
-
Примеры когомологий
- Кольцо когомологий точки – Z в степени 0.
- Кольцо когомологий сферы Sn – Z[x]/(x2).
- Кольцо когомологий тора (S1)n – внешняя алгебра над Z.
- Кольцо когомологий RPn с Z/2 коэффициентами – Z/2[x]/(xn + 1).
- Кольцо когомологий CPn – Z[x]/(xn +1).
- Кольцо когомологий замкнутой ориентированной поверхности X рода g ≥ 0 – свободный Z-модуль.
-
Диагональная карта
- Произведение cup можно рассматривать как исходящее из диагональной карты.
- Кубковый продукт классов u и v можно определить как откат внешнего продукта по диагонали.
-
Двойственность Пуанкаре
- Кольцо когомологий замкнутого ориентированного многообразия самодвойственно.
- Произведение интегральных когомологий по модулю кручения – идеальная пара.
-
Характерные классы
- Ориентированное вещественное векторное расслоение определяет класс Эйлера.
- Существуют другие типы характеристических классов для векторных расслоений.
-
Пространства Эйленберга–Маклейна
- Для каждой абелевой группы A и натурального числа j существует пространство K(A,j).
- Пространство K(A,j) является классифицирующим пространством для когомологий.
-
Описание когомологий
- Когомологии определяются как классы изоморфизма пространств Галуа, охватывающих пространство X.
- Для подключенного X когомологии изоморфны гомоморфизму между фундаментальной группой X и группой A.
-
Произведение cap
- Произведение cap превращает сингулярную гомологию в модуль над кольцом сингулярных когомологий.
- При i = j произведение cap дает изоморфизм для R поля.
-
История сингулярных когомологий
- Концепция двойной клеточной структуры Пуанкаре содержала начало идеи когомологий.
- В 1930-х годах Александр и Лефшец основали теорию пересечений циклов.
- В 1944 году Эйленберг дал современное определение сингулярных гомологий и когомологий.
-
Когомологии пучков
- Когомологии пучков обобщают сингулярные когомологии, позволяя использовать более общие коэффициенты.
- Гротендик определил когомологии пучков как производные от левого точного функтора.
-
Когомологии многообразий
- Существуют машины для вычисления когомологий алгебраических многообразий.
- Для многообразий над конечными полями используются топологии Гротендика и ℓ-адические когомологии.
-
Аксиомы и обобщенные теории
- Существуют различные способы определения когомологий, но они сходятся для комплексов CW.
- Аксиомы Эйленберга–Стинрода определяют согласованность теорий гомологий и когомологий.
-
Обобщенные теории гомологий и когомологий
- Обобщенные теории гомологий и когомологий позволяют вычислять сингулярные когомологии для специальных топологических пространств.
- Обобщенные теории гомологий и когомологий не требуют аксиомы размерности.
-
Определение обобщенных теорий гомологий и когомологий
- Обобщенная теория гомологий — это последовательность функторов из категории CW-пар в категорию абелевых групп.
- Обобщенная теория когомологий — это последовательность контравариантных функторов из категории CW-пар в категорию абелевых групп.
-
Аксиомы обобщенных теорий гомологий и когомологий
- Гомотопия: гомотопические отображения индуцируют одинаковые гомоморфизмы в гомологиях и когомологиях.
- Точность: каждая пара (X, A) индуцирует длинную точную последовательность в гомологиях и когомологиях.
- Исключение: включение подкомплексов индуцирует изоморфизмы в гомологиях и когомологиях.
- Аддитивность: включения подкомплексов индуцируют изоморфизмы в гомологиях и когомологиях.
-
Спектры и обобщенные теории гомологий и когомологий
- Каждая обобщенная теория гомологий и когомологий исходит из спектра.
- Функтор от стабильной гомотопической категории к обобщенным теориям гомологий и когомологий не является эквивалентностью.
-
Примеры обобщенных теорий гомологий и когомологий
- Стабильные когомотопические группы πS∗(X).
- Различные разновидности групп кобордизмов: неориентированный кобордизм MO∗(X), ориентированный кобордизм MSO∗(X), сложный кобордизм MU∗(X).
- Различные разновидности топологической K-теории: KO∗(X), ko∗(X), K∗(X), ku∗(X).
- Когомологии Брауна–Петерсона, K-теория Моравы, E-теория Моравы.
- Различные разновидности эллиптических когомологий.
-
Другие теории когомологий
- Алгебраическая K-теория.
- Когомологии Андре–Квиллена.
- Ограниченные когомологии.
- Когомологии BRST.
- Когомологии Чеха.
- Когомологии когерентного пучка.
- Кристаллические когомологии.
- Циклические когомологии.
- Когомологии Делиня.
- Эквивариантные когомологии.
- Высшие когомологии.
- Внешние группы.
- Плоские когомологии.
- Гомология Флоера.
- Когомологии Галуа.
- Групповые когомологии.
- Когомологии Хохшильда.
- Когомологии пересечений.
- Гомология по Хованову.
- Когомологии алгебры Ли.
- Локальные когомологии.
- Мотивирующие когомологии.
- Неабелевы когомологии.
- Квантовые когомологии.