Конечно порожденный модуль
-
Определение и свойства модулей
- Модуль — это векторное пространство над кольцом, где операции сложения и умножения определены с помощью кольца.
- Модуль является абелевым, если умножение коммутативно и ассоциативно.
- Модуль является проективным, если он является прямым произведением циклических модулей.
- Модуль является плоским, если он является прямым произведением свободных модулей.
-
Характеристики модулей
- Модуль является конечно порожденным, если он имеет конечное число базисных элементов.
- Модуль является конечно связанным, если его ядро является конечно порожденным.
- Модуль является конечно представленным, если он имеет конечное число образующих и соотношений.
- Модуль является когерентным, если все его конечно порожденные подмодули конечно представлены.
-
Двойственность условий
- Модуль является нетеровым тогда и только тогда, когда каждый его подмодуль является конечно порожденным.
- Модуль является артиновым тогда и только тогда, когда каждый его факторный модуль является конечно связанным.
- Модуль является f.g. тогда и только тогда, когда его радикал Якобсона является избыточным подмодулем, а его модуль над радикалом является конечно связанным.
- Модуль является f.винтиком тогда и только тогда, когда его цоколь soc является существенным подмодулем, а его модуль над цоколем является конечно связанным.
-
Примеры и свойства
- Конечно порожденные модули должны иметь конечные однородные размеры.
- Конечно порожденные модули не обязательно имеют конечную однородную размерность, например, бесконечное прямое произведение колец.
- Конечно представленные модули являются компактными объектами в категории R-модулей.
- Когерентные модули являются когерентными объектами в абелевой категории.
-
Эквивалентности и категории
- Нетерово кольцо и конечно порожденный модуль эквивалентны.
- Конечно связанные и конечно представленные модули эквивалентны для нетеровых колец.
- Когерентность является более сильным условием, чем конечно порожденные или конечно представленные модули.
-
Рекомендации и учебные материалы
- Статья содержит список учебных материалов и рекомендаций по теме.