Конфигурация Гессе
-
Определение и свойства конфигурации Гессе
- Конфигурация Гессе состоит из 9 точек и 12 прямых, с тремя точками на линию и четырьмя линиями через каждую точку.
- Она может быть представлена в комплексной проективной плоскости как набор точек перегиба эллиптической кривой.
- В евклидовой плоскости конфигурация Гессе не имеет реализации.
-
История и изучение
- Конфигурация была введена Колином Маклорином и исследована Гессе в 1844 году.
- Она также известна как геометрия Юнга, в честь работы Джона Уэсли Янга.
-
Описание и обозначения
- Конфигурация имеет те же соотношения падений, что и аффинная плоскость над полем из 3 элементов.
- Точки конфигурации могут быть обозначены упорядоченными парами чисел по модулю 3, а линии — тройками точек, удовлетворяющими линейному уравнению.
- Альтернативно, точки могут быть обозначены квадратами в игре в крестики-нолики, а линии — линиями и диагоналями доски.
- Каждая точка связана с четырьмя линиями, а каждая строка содержит три точки.
- Конфигурация имеет обозначение 94123, указывающее на количество точек, линий на точку и линий на линию.
-
Симметрии и связанные конфигурации
- Конфигурация Гессе имеет 216 симметрий, что делает её группу автоморфизмов порядка 216.
- Удаление точки и четырех линий из конфигурации Гессе приводит к конфигурации Мебиуса-Кантора.
- Удаление трех линий из конфигурации Гессе создает конфигурацию Pappus.
- Конфигурация Гессе может быть дополнена до конфигурации типа 134134 добавлением четырех точек и одной линии.
-
Реализуемость и теоремы
- Конфигурация Гессе может быть реализована в комплексной проективной плоскости, но не в евклидовой.
- Теорема Сильвестра-Галлаи не обобщается на комплексную проективную плоскость, но конфигурации Сильвестра-Галлаи должны находиться в двумерном подпространстве сложных пространств.
Полный текст статьи: