Крайняя точка
-
Определение и свойства крайних точек
- Крайняя точка выпуклого множества — это точка, которая не является внутренней точкой любого другого выпуклого подмножества.
- Выпуклое множество имеет конечное число крайних точек.
- Если множество ограничено, то оно имеет крайнюю точку.
- Если множество замкнуто, то оно имеет крайнюю точку.
-
Примеры и свойства
- Интервал имеет крайние точки, но открытый интервал не имеет.
- Замкнутый диск блока в
- R
- 2
- имеет крайнюю точку в виде единичной окружности.
- Периметр выпуклого многоугольника является гранью.
- Инъективное линейное отображение сохраняет крайние точки.
-
Теоремы и свойства
- Теорема Крейна-Милмана утверждает, что любое выпуклое и компактное множество в локально выпуклом пространстве имеет крайние точки.
- Теорема Линденштраусса утверждает, что в банаховом пространстве с свойством Радона-Никодима любое замкнутое и ограниченное множество имеет экстремальную точку.
- Теорема Эдгара утверждает, что в банаховом пространстве с свойством Радона-Никодима существует вероятностная мера, которая делает крайние точки множества множеством с единичной мерой.
-
Связанные понятия
- Строго выпуклое множество — это множество, каждая граничная точка которого является крайней точкой.
- k
- экстремальная точка — это точка, находящаяся внутри
- мерного выпуклого множества, но не внутри
- +1
- мерного множества.
- экстремальные точки разделяют множество на
-
Теорема Крейна-Мильмана и ее применение
- Конечномерная теорема Крейна-Мильмана может быть доказана с использованием концепции
Полный текст статьи: