Крайняя точка

• Определение и свойства крайних точек

  • Крайняя точка выпуклого множества – это точка, которая не является внутренней точкой любого другого выпуклого подмножества. 
  • Выпуклое множество имеет конечное число крайних точек. 
  • Если множество ограничено, то оно имеет крайнюю точку. 
  • Если множество замкнуто, то оно имеет крайнюю точку. 

• Примеры и свойства

  • Интервал имеет крайние точки, но открытый интервал не имеет. 
  • Замкнутый диск блока в 
  • R 
  • 2 
  • имеет крайнюю точку в виде единичной окружности. 
  • Периметр выпуклого многоугольника является гранью. 
  • Инъективное линейное отображение сохраняет крайние точки. 

• Теоремы и свойства

  • Теорема Крейна-Милмана утверждает, что любое выпуклое и компактное множество в локально выпуклом пространстве имеет крайние точки. 
  • Теорема Линденштраусса утверждает, что в банаховом пространстве с свойством Радона-Никодима любое замкнутое и ограниченное множество имеет экстремальную точку. 
  • Теорема Эдгара утверждает, что в банаховом пространстве с свойством Радона-Никодима существует вероятностная мера, которая делает крайние точки множества множеством с единичной мерой. 

• Связанные понятия

  • Строго выпуклое множество – это множество, каждая граничная точка которого является крайней точкой. 
  • k 
  • экстремальная точка – это точка, находящаяся внутри 
  • мерного выпуклого множества, но не внутри 
  • +1 
  • мерного множества. 
  • экстремальные точки разделяют множество на 

• Теорема Крейна-Мильмана и ее применение

  • Конечномерная теорема Крейна-Мильмана может быть доказана с использованием концепции