Квадратичное поле

• Определение и свойства квадратичных полей

  • Квадратичное поле — это поле, в котором каждый элемент имеет квадратный корень. 
  • Квадратичные поля являются обобщением поля рациональных чисел. 
  • Они могут быть вещественными или комплексными, в зависимости от дискриминанта. 

• Примеры и классификация

  • Примеры включают поля рациональных чисел, комплексных чисел и чисел вида 
  • Q 
  • ( 
  • d 
  • ) 
  • {\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})} 
  • . 
  • Классификация квадратичных полей основана на дискриминанте и его поведении при делении на простые числа. 

• Разложение простых чисел

  • Простые числа порождают идеалы в кольце целых чисел квадратичного поля. 
  • Расщепление простого числа зависит от его поведения по модулю дискриминанта поля. 

• Группа классов и закон квадратичной взаимности

  • Идеальная классовая группа основана на простых идеалах с нормой меньше оценки Минковского. 
  • Закон квадратичной взаимности утверждает, что поведение простого числа в квадратичном поле зависит только от его поведения по модулю дискриминанта. 

• Квадратичные подполя круговых полей

  • Круговые поля содержат уникальные квадратичные подполя, связанные с простыми числами. 
  • Дискриминант квадратичного поля в круговом поле равен простому числу, которое разветвляется. 

• Другие циклотомические области

  • Циклотомические поля могут содержать более трех квадратичных полей, в зависимости от группы Галуа. 
  • Дискриминанты малых порядков квадратичных полей могут быть определены с помощью формулы дискриминанта. 

• Порядки квадратичных числовых полей

  • В таблице приведены порядки малых дискриминантов квадратичных полей. 
  • Максимальный порядок поля алгебраических чисел равен его кольцу целых чисел, а дискриминант максимального порядка — его дискриминант. 

• Рекомендации и внешние ссылки

  • Ссылки на другие главы и внешние ресурсы приведены в статье.