Квадратура параболы

• Квадратура параболы Архимеда

  • Трактат Архимеда о параболах, написанный в III веке до н.э. 
  • Содержит 24 утверждения, включая доказательство равенства площади параболического отрезка 4/3 вписанного треугольника. 
  • Метод Архимеда основан на использовании геометрической прогрессии и метода исчерпания. 

• Структура и содержание трактата

  • Архимед рассматривает параболический сегмент как область, ограниченную параболой и прямой. 
  • Доказательства теоремы основаны на механике и чистой геометрии. 
  • Первые три утверждения цитируются без доказательств из «Конических элементов» Евклида. 
  • Предложения 4 и 5 описывают свойства параболы, а положения 6-17 и 18-24 представляют собой механическое и геометрическое доказательства соответственно. 

• Геометрическое доказательство

  • Архимед делит параболический отрезок на треугольники, вписанные в параболический сегмент. 
  • Доказывает, что площади треугольников, составляющих параболический сегмент, равны 1/8 площади синего треугольника. 
  • Используя метод исчерпания, вычисляет общую площадь параболического сегмента как сумму площадей треугольников. 
  • Доказывает, что геометрический ряд, представляющий собой сумму площадей треугольников, сходится к 4/3. 

• Историческое значение и дальнейшее чтение

  • Трактат является одной из самых известных работ Архимеда и оказал влияние на развитие интегрального исчисления. 
  • Для более глубокого изучения можно обратиться к книге Дейкстерхейса «Архимед» и к тексту предложений 1-3 и 20-24 на сайте planetmath.org.