Подходящая лемма
-
Определение и свойства модуля
- Модуль — это множество элементов с операцией сложения, удовлетворяющей определенным условиям.
- Сумма двух модулей равна объединению их множеств.
- Модуль является абелевой группой, если операция сложения коммутативна и ассоциативна.
-
Примеры модулей
- Множество целых чисел с операцией сложения образует модуль.
- Множество векторов с операцией сложения образует абелеву группу.
- Множество матриц с операцией сложения образует кольцо.
-
Свойства абелевых групп
- Абелева группа является абелевой группой с операцией умножения.
- Абелева группа обладает свойством ассоциативности умножения.
- Абелева группа имеет единицу и обратный элемент для каждого элемента.
-
Теорема о структуре абелевых групп
- Абелева группа может быть разложена на прямое произведение двух подмодулей.
- Один из подмодулей равен всему модулю, а другой является нулевым подмодулем.
- Если один из подмодулей равен нулю, то группа является либо биективной, либо нильпотентной.
Полный текст статьи: