Линейное программирование

• История и развитие линейного программирования

  • Линейное программирование — это математическая задача оптимизации, которая возникла в 1947 году. 
  • В 1950-х годах были разработаны первые алгоритмы для решения задач линейного программирования. 
  • В 1960-х годах был разработан метод внутренней точки, который стал первым алгоритмом с полиномиальным временем. 
  • В 1970-х годах было доказано, что линейное программирование разрешимо за полиномиальное время. 

• Симплексный алгоритм

  • Симплексный алгоритм был разработан Джорджем Данцигом в 1951 году и является одним из самых известных алгоритмов для решения задач линейного программирования. 
  • Симплексный алгоритм имеет экспоненциальную временную сложность, но эффективен на практике. 
  • Существуют модификации симплексного алгоритма, такие как метод Клее-Минти, которые могут улучшить производительность. 

• Алгоритмы с внутренними точками

  • Алгоритмы с внутренними точками были разработаны в 1970-х годах и используют методы эллипсоидов для решения задач линейного программирования. 
  • Алгоритмы с внутренними точками имеют полиномиальную временную сложность, но могут быть менее эффективными в некоторых случаях. 
  • Алгоритмы Вайдьи 87 и 89 являются примерами алгоритмов с внутренними точками, которые имеют различные временные сложности. 

• Алгоритмы разрежения данных

  • В 2015 году были разработаны алгоритмы, которые позволяют решать задачи линейного программирования за время, пропорциональное количеству ненулевых элементов в матрице. 
  • Эти алгоритмы могут быть более эффективными для больших матриц. 

• Современные алгоритмы

  • В 2019 году были разработаны алгоритмы умножения матриц, которые улучшают временную сложность до полиномиальной. 
  • Существуют различные методы определения внутренней точки и симплексные алгоритмы, и их эффективность зависит от конкретных задач. 

• Открытые проблемы

  • В теории линейного программирования остаются нерешенные проблемы, такие как поиск строго дополнительного решения и вычисление в модели реального числа. 
  • Разработка алгоритмов с сильно выраженным полиномиальным временем работы может иметь фундаментальное значение для решения крупномасштабных задач линейного программирования. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.