Логистическая функция
-
Определение и свойства логистической функции
- Логистическая функция — это функция, которая отображает значения от 0 до 1, с асимптотами при 0 и 1.
- Она имеет форму
- f
- (
- x
- )
- =
- 1
- +
- e
- −
- ,
- {\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}}
- Она также известна как функция сигмоида и является решением дифференциального уравнения Бернулли.
-
Применение в статистике и биологии
- В статистике логистическая функция используется для моделирования бинарных данных, таких как результаты выборов или наличие заболевания.
- В биологии она применяется для описания распределения популяции в зависимости от условий окружающей среды.
-
Математические свойства
- Логистическая функция является монотонно возрастающей и непрерывной, с производной, равной 1 при 0 и 0 при 1.
- Она также является решением дифференциального уравнения первого порядка с граничным условием.
-
Аналитическое решение и его интерпретация
- Аналитическое решение показывает экспоненциальный рост при отрицательных значениях аргумента и линейный рост при приближении к 0.
- Вероятность p может быть интерпретирована как вероятность одной из двух альтернатив, а q — как вероятность другой.
-
Дифференциальное уравнение и его решение
- Дифференциальное уравнение для логистической функции имеет вид
- d
-
Вероятностная интерпретация при
- L
-
— При
- , логистическая функция отображает вероятность от 0 до 1.
- Вероятность p интерпретируется как вероятность первой альтернативы, а q — как вероятность второй.
- Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.
Полный текст статьи: