Логистическая функция

• Определение и свойства логистической функции

  • Логистическая функция – это функция, которая отображает значения от 0 до 1, с асимптотами при 0 и 1. 
  • Она имеет форму 
  • f 
  • ( 
  • x 
  • ) 
  • = 
  • 1 
  • + 
  • e 
  • − 
  • , 
  • {\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}} 
  • Она также известна как функция сигмоида и является решением дифференциального уравнения Бернулли. 

• Применение в статистике и биологии

  • В статистике логистическая функция используется для моделирования бинарных данных, таких как результаты выборов или наличие заболевания. 
  • В биологии она применяется для описания распределения популяции в зависимости от условий окружающей среды. 

• Математические свойства

  • Логистическая функция является монотонно возрастающей и непрерывной, с производной, равной 1 при 0 и 0 при 1. 
  • Она также является решением дифференциального уравнения первого порядка с граничным условием. 

• Аналитическое решение и его интерпретация

  • Аналитическое решение показывает экспоненциальный рост при отрицательных значениях аргумента и линейный рост при приближении к 0. 
  • Вероятность p может быть интерпретирована как вероятность одной из двух альтернатив, а q – как вероятность другой. 

• Дифференциальное уравнение и его решение

  • Дифференциальное уравнение для логистической функции имеет вид 
  • d 

• Вероятностная интерпретация при

  • L 

• – При

  • , логистическая функция отображает вероятность от 0 до 1. 
  • Вероятность p интерпретируется как вероятность первой альтернативы, а q – как вероятность второй. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.