Метаматематика

• Определение метаматематики

  • Метаматематика — это изучение математических методов и теорий, выходящих за рамки стандартных математических дисциплин. 
  • Она включает в себя изучение чистой математики, такой как теория множеств и теория моделей. 

• История метаматематики

  • Готлоб Фреге внес значительный вклад в метаматематику, разработав Begriffsschrift в 1879 году. 
  • Дэвид Гильберт использовал термин «метаматематика» в начале 20 века, обозначая теорию доказательств. 
  • Металогика и метаматематика тесно связаны и являются частью математической логики в современной науке. 

• Важнейшие вехи в истории метаматематики

  • Открытие гиперболической геометрии Гауссом привело к развитию метаматематики и улучшению математической строгости. 
  • Principia Mathematica (PM) была попыткой описать аксиомы и правила вывода, но теорема Геделя о неполноте показала невозможность достижения этой цели. 
  • Теоремы Геделя о неполноте ограничили аксиоматические системы, способные выполнять арифметические действия. 
  • Альфред Тарский разработал T-схему для определения истины в семантической теории. 

• Неразрешимость Entscheidungsproblem

  • Entscheidungsproblem, поставленная Гильбертом в 1928 году, требовала алгоритм для определения универсальности логических утверждений. 
  • Алонзо Черч и Алан Тьюринг показали, что общее решение этой проблемы невозможно, если использовать машины Тьюринга. 

• Рекомендации и дальнейшее чтение

  • В статье представлены ссылки на книги и статьи, которые могут быть полезны для дальнейшего изучения метаматематики.