Модель Дебая
-
Модель Дебая
- Метод оценки вклада фононов в удельную теплоемкость твердого тела
- Рассматривает колебания атомов как фононы в ячейке
- Правильно предсказывает низкотемпературную зависимость теплоемкости
-
Основные этапы расчета
- Фононы рассматриваются как безмассовый бозе-газ с линейной дисперсией
- Энергия фонона задается как hνn, где h — постоянная Планка, νn — частота фонона
- Приближение, что частота обратно пропорциональна длине волны, хорошо для фононов с низкой энергией
-
Ограничения модели Дебая
- Приближение неточно при промежуточных температурах
- Фононы имеют конечное число энергетических состояний, что ограничивает верхний предел суммы энергий
-
Температура Дебая
- Определяется как температура, при которой возбуждается мода с минимальной длиной волны
- Температура Дебая пропорциональна эффективной скорости звука
-
Вывод Дебая
- Дебай использовал механику сплошной среды для вывода уравнения
- Число колебательных состояний асимптотично для V/F, где V — объем, F — коэффициент
- Дебай предположил, что спектр частот колебательных состояний продолжается до максимальной частоты νm, выбранной для общего числа состояний
-
Распределение частот колебаний
- Распределение частот колебаний получено из приложения VI Террелла Л. Хилла.
- Упругая волна подчиняется волновому уравнению и представляет собой плоские волны.
- Решения волнового уравнения описывают восьмую часть эллипса в «модовом пространстве».
-
Количество режимов с частотой менее ν
- Количество режимов с частотой менее ν равно объему эллипса.
- Скорость волны в продольном направлении отличается от поперечного.
-
Верхний предел частоты вибрации
- Верхний предел частоты вибрации νD определяется как νD = kT/h.
- Квантовые гармонические осцилляторы обладают энергией Ei = (i+1/2)hν.
-
Температурные ограничения
- Температура твердого вещества Дебая считается низкой при T ≪ TD.
- В низкотемпературном пределе модель Дебая дает правильное соотношение между теплоемкостью, температурой и коэффициентами упругости.
- Температура твердого вещества Дебая считается высокой при T ≫ TD.
-
Модели Дебая и Эйнштейна
- Модели Дебая и Эйнштейна хорошо соответствуют экспериментальным данным.
- Модель Дебая корректна при низких температурах, модель Эйнштейна — нет.
- Соотношение температур Эйнштейна и Дебая используется для их сопоставления.
-
Таблица температур Дебая
- Модель Дебая дает хорошее приближение для низкотемпературной теплоемкости изолирующих кристаллических тел.
- Вклад электронов в тепловыделение доминирует при низких температурах.
-
Распространение на другие квазичастицы
- Для магнонов в ферромагнетиках наблюдаются аналогичные результаты.
- В ферромагнетиках вклад магнонов в теплоемкость доминирует при низких температурах.
- В металлах основной вклад в теплоемкость вносят электроны.
-
Распространение на жидкости
- Теория фононов не способна объяснить теплоемкость жидкостей из-за отсутствия поперечных фононов.
-
Эксперименты и модель Дебая
- Эксперименты подтвердили существование поперечных фононов в жидкостях.
- Модель Дебая хорошо описывает теплоемкость простых жидкостей.
- Мгновенные нормальные моды могут определять удельную теплоемкость жидкостей.
-
Частота Дебая
- Дебаевская частота (ωD) — параметр в модели Дебая.
- Определяется как угловая частота отсечения волн гармонической цепочки масс.
- Используется для описания движения ионов в кристаллической решетке.
-
Определение частоты Дебая
- Для одномерной цепочки: ωD = a/N, где a — расстояние между атомами, N — количество атомов, L — размер системы.
- Для двумерной решетки: ωD = A/σ, где A — площадь поверхности, σ — поверхностная численная плотность.
- Для трехмерной решетки: ωD = V/ρ, где V — объем системы, ρ — плотность объемного числа.
-
Зависимость от температуры Дебая
- Температура Дебая θD связана с ωD соотношением θD = ℏ/kBωD.
-
Вывод Дебая
- Дебай суммировал все возможные режимы работы системы.
- Предполагал, что общее число мод на поляризацию равно N.
- Вывел выражение для частоты среза ωD.
-
Одномерная цепочка в трехмерном пространстве
- Вывод аналогичен для одномерной цепочки.
- Количество режимов остается неизменным.
- Частота среза ωD не зависит от поляризации.
-
Двумерный кристалл
- Вывод аналогичен для двумерного кристалла.
-
Трехмерный кристалл
- Вывод аналогичен для трехмерного кристалла.
-
Проблема линейности дисперсионного соотношения
- Линейное дисперсионное соотношение ω = vsk не всегда применимо.
- Более точное дисперсионное соотношение учитывает гармоническое взаимодействие атомов.
-
Дисперсионное соотношение для цепочки масс
- Дисперсионное соотношение для цепочки масс: ω(k) = 2κm|sin(ka/2)|.
- Оценка Дебаем длины волны отсечки остается точной для k ∈ [−πa, πa].
-
Ограничение первой зоной Бриллюэна
- Изучение дисперсионного соотношения можно ограничить первой зоной Бриллюэна.
- Это возможно благодаря дискретизации системы.
-
Скорость волны и частота среза
- Скорость волны при k = π/a: vs(k = π/a) = 2aπκm.
- Частота среза: ω(k = π/a) = 2κm = ωD.
-
Альтернативный вывод с использованием теоремы выборки
- Для одномерной цепочки частота среза может быть определена по длине волны среза.
- Длина волны среза: λD = 2a, что приводит к kD = π/a и ωD = πvs/a.
-
Выводы
- Независимо от используемого дисперсионного соотношения, частота среза остается неизменной.
- Для цепей большей сложности дисперсионное соотношение становится более сложным, что влияет на точность.