Модель Дебая

• Метод оценки вклада фононов в удельную теплоемкость твердого тела  
• Рассматривает колебания атомов как фононы в ячейке  
• Правильно предсказывает низкотемпературную зависимость теплоемкости  

Основные этапы расчета

• Фононы рассматриваются как безмассовый бозе-газ с линейной дисперсией  
• Энергия фонона задается как hνn, где h — постоянная Планка, νn — частота фонона  
• Приближение, что частота обратно пропорциональна длине волны, хорошо для фононов с низкой энергией  

Ограничения модели Дебая

• Приближение неточно при промежуточных температурах  
• Фононы имеют конечное число энергетических состояний, что ограничивает верхний предел суммы энергий  

Температура Дебая

• Определяется как температура, при которой возбуждается мода с минимальной длиной волны  
• Температура Дебая пропорциональна эффективной скорости звука  

Вывод Дебая

• Дебай использовал механику сплошной среды для вывода уравнения  
• Число колебательных состояний асимптотично для V/F, где V — объем, F — коэффициент  
• Дебай предположил, что спектр частот колебательных состояний продолжается до максимальной частоты νm, выбранной для общего числа состояний  

Распределение частот колебаний

• Распределение частот колебаний получено из приложения VI Террелла Л. Хилла.  
• Упругая волна подчиняется волновому уравнению и представляет собой плоские волны.  
• Решения волнового уравнения описывают восьмую часть эллипса в “модовом пространстве”.  

Количество режимов с частотой менее ν

• Количество режимов с частотой менее ν равно объему эллипса.  
• Скорость волны в продольном направлении отличается от поперечного.  

Верхний предел частоты вибрации

• Верхний предел частоты вибрации νD определяется как νD = kT/h.  
• Квантовые гармонические осцилляторы обладают энергией Ei = (i+1/2)hν.  

Температурные ограничения

• Температура твердого вещества Дебая считается низкой при T ≪ TD.  
• В низкотемпературном пределе модель Дебая дает правильное соотношение между теплоемкостью, температурой и коэффициентами упругости.  
• Температура твердого вещества Дебая считается высокой при T ≫ TD.  

Модели Дебая и Эйнштейна

• Модели Дебая и Эйнштейна хорошо соответствуют экспериментальным данным.  
• Модель Дебая корректна при низких температурах, модель Эйнштейна – нет.  
• Соотношение температур Эйнштейна и Дебая используется для их сопоставления.  

Таблица температур Дебая

• Модель Дебая дает хорошее приближение для низкотемпературной теплоемкости изолирующих кристаллических тел.  
• Вклад электронов в тепловыделение доминирует при низких температурах.  

Распространение на другие квазичастицы

• Для магнонов в ферромагнетиках наблюдаются аналогичные результаты.  
• В ферромагнетиках вклад магнонов в теплоемкость доминирует при низких температурах.  
• В металлах основной вклад в теплоемкость вносят электроны.  

Распространение на жидкости

• Теория фононов не способна объяснить теплоемкость жидкостей из-за отсутствия поперечных фононов.  

Эксперименты и модель Дебая

• Эксперименты подтвердили существование поперечных фононов в жидкостях.  
• Модель Дебая хорошо описывает теплоемкость простых жидкостей.  
• Мгновенные нормальные моды могут определять удельную теплоемкость жидкостей.  

Частота Дебая

• Дебаевская частота (ωD) — параметр в модели Дебая.  
• Определяется как угловая частота отсечения волн гармонической цепочки масс.  
• Используется для описания движения ионов в кристаллической решетке.  

Определение частоты Дебая

• Для одномерной цепочки: ωD = a/N, где a — расстояние между атомами, N — количество атомов, L — размер системы.  
• Для двумерной решетки: ωD = A/σ, где A — площадь поверхности, σ — поверхностная численная плотность.  
• Для трехмерной решетки: ωD = V/ρ, где V — объем системы, ρ — плотность объемного числа.  

Зависимость от температуры Дебая

• Температура Дебая θD связана с дебаевской частотой соотношением θD = ℏ/kBωD.  

Вывод Дебая

• Дебай суммировал все возможные режимы работы системы.  
• Предполагал, что общее число мод на поляризацию равно N.  
• Вывел выражение для частоты среза, используя дисперсионное соотношение.  

Одномерная цепочка в трехмерном пространстве

• Количество режимов остается неизменным.  
• Левая часть переписана с учетом дебаевской частоты.  
• Интеграл переписан с учетом замены k = ω/vs.  

Двумерный кристалл

• Левая часть переписана и приравнивается к 3N.  

Трехмерный кристалл

Проблема линейности дисперсионного соотношения

• Линейное дисперсионное соотношение ω = vsk не всегда применимо.  
• Более точное дисперсионное соотношение учитывает гармоническое взаимодействие атомов.  

Дисперсионное соотношение для цепочки масс

• Дисперсионное соотношение для цепочки масс: ω(k) = 2κm|sin(ka/2)|.  
• Оценка Дебаем длины волны отсечки остается точной для k ∈ [−πa, πa].  

Ограничение первой зоной Бриллюэна

• Изучение дисперсионного соотношения можно ограничить первой зоной Бриллюэна.  
• Это возможно благодаря дискретизации системы.  

Скорость волны и частота среза

• Скорость волны при k = π/a: vs(k = π/a) = 2aπκm.  
• Частота среза: ω(k = π/a) = 2κm = ωD.  

Альтернативный вывод с использованием теоремы выборки

• Для одномерной цепочки частота среза может быть определена по длине волны среза.  
• Длина волны среза: λD = 2a, что приводит к kD = π/a и ωD = πvs/a.  

Выводы

• Независимо от используемого дисперсионного соотношения, частота среза остается неизменной.  
• Для цепей большей сложности дисперсионное соотношение становится более сложным, что влияет на точность.